Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Thay \(x=1\) vào biểu thức \(4P\left(x\right)=P\left(2x+1\right)+2x+2\)
\(\Rightarrow4P\left(1\right)=P\left(3\right)+4\Rightarrow P\left(3\right)=4P\left(1\right)-4=20\)
Thay \(x=0\) vào:
\(\Rightarrow4P\left(0\right)=P\left(1\right)+2\Rightarrow P\left(0\right)=\frac{P\left(1\right)+2}{4}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(0\right)=2\\P\left(1\right)=6\\P\left(3\right)=20\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\a+b+c=6\\9a+3b+c=20\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\)
Câu 2:
Gọi 2 nghiệm của đa thức là \(n\) và \(n+1\) với n nguyên
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-n\right)\left(x-n-1\right)=x^2-\left(2n+1\right)x+n\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\left(2n+1\right)=9\\n\left(n+1\right)=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=-5\\n\left(n+1\right)=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b=20\)
Để \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)thì \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot q\)( với q là hằng số )
Khi đó ta có pt :
\(x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)
\(\Leftrightarrow x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)
Vì pt trên đúng với mọi x nên :
+) đặt \(x=1\)
\(pt\Leftrightarrow1^5-2\cdot1^4-6\cdot1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c=\left(1-1\right)\left(1+1\right)\left(1-3\right)\cdot q\)
\(\Leftrightarrow-7+a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=7\)(1)
Chứng minh tương tự, lần lượt đặt \(x=-1\)và \(x=3\)ta có các pt :
\(\hept{\begin{cases}3+a-b+c=0\\-81+9a+3b+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt 3 ẩn :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=7\\a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}\)
Giải hệ ta được \(\hept{\begin{cases}a=8\\b=5\\c=-6\end{cases}}\)
Vậy....
cái trên thì bn dùng BĐT Bunhiakovshi nha
cái dưới hơi rườm tí mik ko bt lm đúng ko
\(f\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)\)
\(f\left(x-1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\)
\(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)
\(=x\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)\left(ax-a+b\right)\right]\)
\(=x\left(x+1\right)[x\left(ax+b\right)+2\left(ax+b\right)-x\left(ax-a+b\right)\)
\(+\left(ax-a+b\right)]\)
\(=x\left(x+1\right)(ax^2+bx+2ax+2b-ax^2+ax\)
\(-bx+ax-a+b)\)
\(=x\left(x+1\right)\left(4ax-a+3b\right)\)
Mà theo đề \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)
Đồng nhất hệ số là ra
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
=> \(f\left(-2\right)=4a-2b+c=-3\)
Có f(x) chia cho x và x + 4 đều dư 5
=> \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=0+c=5\\f\left(-4\right)=16a-4b+c=5\end{matrix}\right.\)
Ta có hpt:
\(\left\{{}\begin{matrix}4a-2b+c=-3\\c=5\\16a-4b+c=5\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}c=5\\2\left(2a-b\right)=-8\\4\left(4a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=5\\b=4a\\2a-b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\c=5\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(f\left(x\right)=2x^2+8x+5\)
Lời giải:
Đã bổ sung điều kiện $a,b,c\in\mathbb{Z}^+$
Ta có:
$P(-1)P(0)P(1)=(a-b+c)c(a+b+c)>0$ và $a,b,c>0$ nên $a-b+c>0; a+b+c>0$
Để $P(-1)P(0)P(1)$ là số nguyên tố thì 2 trong 3 thừa số đã cho phải có giá trị bằng $1$ và thừa số còn lại là số nguyên tố.
Dễ thấy $a+b+c=\max (a-b+c, c, a+b+c)$ nên $a-b+c=c=1$
$\Rightarrow a=b; c=1$
Kết hợp với $P(6)=36a+6b+c=127$ suy ra a=b=3; c=1$
Thử lại thấy $P(-1)P(0)P(1)=7$ là snt (thỏa mãn)
Vậy $P(x)=3x^2+3x+1$
Bạn xem lại đề. $a,b,c$ cần được bổ sung điều kiện để có thể giải.