Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1\)
\(T_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Ta có: \(a^2+b^2=4\left(gt\right)\Rightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)
\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Mà \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Vậy GTLN của \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\sqrt{2}-1\)khi \(a=b=\sqrt{2}\)
Ta có a2+b2=4
<=> (a+b)2=4+2ab
<=> (a+b)2-4=2ab
<=> (a+b-2)(a+b+2)=2ab
<=> \(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a+b+2\right)}{2}=ab\)
Ta có \(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho 2 số a/2 và b/2 ta có
\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4\left(doa^2+b^2=4\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\)
Do đó \(M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Vậy Max M = \(\sqrt{2}-1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$C^2\leq (a+b)[(29a+3b)+(29b+3a)]=32(a+b)^2$
$(a+b)^2\leq (a^2+b^2)(1+1)\leq 4$
$\Rightarrow C^2\leq 32.4$
$\Rightarrow C\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $C_{\max}=8\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
Lời giải:
Do $b\leq c; a^2\geq 0$ nên $a^2(b-c)\leq 0$
$\Rightarrow Q\leq b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leq 4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4}{27}c^3\)
\(\Rightarrow Q\leq c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54}{23})^2.\frac{23}{54}c.\frac{23}{54}c(1-\frac{23}{27}c)\leq (\frac{54}{23})^2\left(\frac{\frac{23}{54}c+\frac{23}{54}c+1-\frac{23}{27}c}{3}\right)^3=\frac{108}{529}\)
Vậy $Q_{max}=\frac{108}{529}$
Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(0,\frac{12}{23}, \frac{18}{23})$
Lời giải:
Do $b\leq c; a^2\geq 0$ nên $a^2(b-c)\leq 0$
$\Rightarrow Q\leq b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leq 4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4}{27}c^3\)
\(\Rightarrow Q\leq c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54}{23})^2.\frac{23}{54}c.\frac{23}{54}c(1-\frac{23}{27}c)\leq (\frac{54}{23})^2\left(\frac{\frac{23}{54}c+\frac{23}{54}c+1-\frac{23}{27}c}{3}\right)^3=\frac{108}{529}\)
Vậy $Q_{max}=\frac{108}{529}$
Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(0,\frac{12}{23}, \frac{18}{23})$
Ta có: \(a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4=2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)=2ab\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2}=ab\)
\(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxoopki cho 2 số a/2 và b/2 ta có:
\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4=2\)( do \(a^2+b^2=4\))
\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Vậy GTLN của biểu thức \(M=\frac{ab}{a+b+2}\)là \(\sqrt{2}-1\).
Ta có : \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab=4+2ab\)
\(\Rightarrow a+b=\sqrt{4+2ab}\)
Khi đó \(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}\)
Dễ thấy \(\sqrt{4+2ab}>2\)nên có thể nhân liên hợp
\(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{\left(\sqrt{4+2ab}+2\right)\left(\sqrt{4+2ab}-b\right)}\)
\(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{4+2ab-4}\)
\(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{2ab}\)
\(=\frac{\sqrt{4+2ab}-2}{2}\le\frac{\sqrt{4+a^2+b^2}-2}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{4+4}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" tại \(a=b=\sqrt{2}\)
\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)
\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)
\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
a 2 + b 2 ≥ 2 a b , b 2 + c 2 ≥ 2 b c , c 2 + a 2 ≥ 2 c a
Do đó: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi a = b = c = 3
Vì a , b , c ≥ 1 , nên ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b
Tương tự ta có b c + 1 ≥ b + c , c a + 1 ≥ c + a
Do đó a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6
Mà P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18
⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Vậy maxP= 18 khi : a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1
Lý do gì mà người ra đề lại chọn 1 con số xấu phi lý như 9 ở đây nhỉ? Vì con số này là ko có ý nghĩa (2, 3, 4, 6 hay 9 gì thì cách giải đều giống nhau, nhưng việc chọn 9 khiến kết quả xấu khủng khiếp)
\(9=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le3\sqrt{2}\)
\(P=\dfrac{ab}{a+b+3}\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+3\right)}\)
Đặt \(a+b=x\Rightarrow0< x\le3\sqrt{2}\)
\(4P\le\dfrac{x^2}{x+3}=\dfrac{x^2}{x+3}+6-6\sqrt{2}-6+6\sqrt{2}\)
\(4P\le\dfrac{x^2+\left(6-6\sqrt{2}\right)x+18-18\sqrt{2}}{x+3}-6+6\sqrt{2}\)
\(4P\le\dfrac{\left(x-3\sqrt{2}\right)\left(x+6-3\sqrt{2}\right)}{x+3}-6+6\sqrt{2}\le-6+6\sqrt{2}\)
\(P\le\dfrac{-3+3\sqrt{2}}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{-3+3\sqrt{2}}{2}\) khi \(x=3\sqrt{2}\) hay \(a=b=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
đặt a+b=t => ab=t2-4
Ta có: \(a^2+b^2=4\Leftrightarrow2ab=\left(a+b\right)^2-4\)
\(\Rightarrow2M=\frac{\left(a+b\right)^2-4}{a+b+2}=a+b-2\)
Ta có: \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\Rightarrow M\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)
Vậy \(M_{max}=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow a=b=\sqrt{2}\)