Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1a):
Ta có:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\left(a+b\right).\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}+2\)
Lại có: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 \(\ge\) 0
\(\Rightarrow\) a2 + b2 \(\ge\) 2ab
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}+2\ge4\)
Vậy \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
Bài 2a):
Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Vậy ta có đpcm
Lời giải:
a.
$\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{b}-\frac{c}{d}<0$
$\Rightarrow \frac{ad-bc}{bd}< 0$
$\Rightarrow ad-bc<0$ (do $bd>0$)
$\Rightarrow ad< bc$ (đpcm)
b.
$\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}=\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}=\frac{ad-bc}{b(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $b(b+d)>0$
$\Rightarrow \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}$
--------
$\frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\frac{ad-bc}{d(b+d)}<0$ do $ad-bc<0$ và $d(b+d)>0$
$\Rightarrow \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}$
Ta có đpcm.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^4+b^4)(a^2+b^2)\geq (a^3+b^3)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{(a^3+b^3)^2}{ab(a^3+b^3)(a^2+b^2)}=\frac{a^3+b^3}{ab(a^2+b^2)}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2\)
Mà theo hệ quả BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)
Suy ra \((a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)\frac{(a+b)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\geq \frac{(a+b)(a^2+b^2)}{2}(2)\)
Từ (1); (2) suy ra \(\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a^3+b^3}{ab(a^2+b^2)}\geq \frac{a+b}{2ab}\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sum \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a+b}{2ab}+\frac{b+c}{2bc}+\frac{a+c}{2ac}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
E cảm ơn nhiều ạ. Mong thầy cô giúp đỡ e thêm. E yếu phần bđt ạ
Câu 1:
\(\dfrac{x+1}{10}+\dfrac{x+1}{11}+\dfrac{x+1}{12}=\dfrac{x+1}{13}+\dfrac{x+1}{14}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x+1}{10}+\dfrac{x+1}{11}+\dfrac{x+1}{12}\right)\) - \(\left(\dfrac{x+1}{13}+\dfrac{x+1}{14}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right).\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{14}\right)\)= 0
Vì \(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{14}\ne0\)
\(\Rightarrow x+1=0\)
=> x = 0 - 1
=> x = -1
Câu 2:
Ta có: \(A=\dfrac{3n+9}{n-4}=\dfrac{3n-3.4+9+12}{n-4}\)
\(=\dfrac{3.\left(n-4\right)+21}{n-4}=3+\dfrac{21}{n-4}\)
Để A có giá trị nguyên thì:
n - 4 \(\in\) Ư(21)
=> n - 4 \(\in\)
| n4 | 3 | -3 | 7 | -7 | -1 | 1 | -21 | 21 |
| n | 7 | 1 | 11 | -3 | 3 | 5 | -17 | 25 |
a: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\cdot\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\cdot\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4\)
b: \(a+b+c>=3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>=3\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Do đó: \(\left(a+b+c\right)\cdot\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)