K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CT
1
21 tháng 6 2018
\(x,y,z>0\Rightarrow\left(x+y\right)+z>=2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1>=2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1>=4\left(x+y\right)z\)(bđt cosi)
\(M=\frac{x+y}{xyz}=\frac{1\left(x+y\right)}{xyz}>=\frac{4\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}=\frac{4\left(x+y\right)^2z}{xyz}>=4\cdot\frac{\left(2\sqrt{xy}\right)^2z}{xyz}=\frac{4\cdot4xyz}{xyz}=4\cdot4=16\)
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
vậy min M là 16 khi \(x=y=\frac{1}{4}:z=\frac{1}{2}\)
QB
2
HT
1
TM
10 tháng 9 2017
x+y+z=(x+y)+z=1 => [(x+y)+z]2=1
Ta có: \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Mặt khác: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Suy ra 1.(x+y)2 \(\ge\)4(x+y)z.4xy<=>(x+y)2\(\ge\)16xyz(x+y) \(\Leftrightarrow x+y\ge16xyz\)\(\Leftrightarrow A=\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x=y\end{cases}}\) kết hợp với điều kiện ban đầu x+y+z=1,giải hệ ra <=> x=y=1/4; z=1/2
Vậy minA=16 khi x=y=1/4; z=1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 1 2021
\(A=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
NT
0
24 tháng 5 2022
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
KK
12 tháng 3 2018
a) x+y+z=1
⇔[(x+y)+z]2=1
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)
⇔[(a+b)+c)]2 \(\ge4\left(a+b\right)c\)
⇔1 ≥ 4(a+b)c
nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được
\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)
⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)
Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)
NL
1
10 tháng 3 2021
\(\frac{x+y}{xyz}=\frac{x}{xyz}+\frac{y}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\ge\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel ) (1)
Lại có \(z\left(x+y\right)\le\left(\frac{x+y+z}{2}\right)^2=9\Rightarrow\frac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{9}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 3/2 ; z = 3
U
1
Y
16 tháng 8 2019
Ta có
\(x+y+z=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=1\\ \Leftrightarrow1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\left(bđtAM-GM\right)\\ \Leftrightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4\left(x+y\right)^2z}{xyz}\ge\frac{4\cdot4xy\cdot z}{xyz}=16\)
(nhân cả hai vế với \(\frac{x+y}{xyz}\))
Vậy min A = 16 khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{2}\)
P.s: Cái chỗ bđt AM-GM bạn có thể thay bằng việc c/m bđt dưới để áp dụng vào bài toán:
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
è, lớp 7 chứ, vio phải ko
tìm ra là 6
x=1;y=2;z=3