Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\Rightarrow3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge6\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2-6=-4 \)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\ge-4+5=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\)
=> \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)
Thay vào ta có :
\(t^2-2-3t+5=t^2-3t+3=t^2-2.t\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
VẬy GTNN của BT là 5/4 khi \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=0\) ( bạn tự tính ra x;y nha)
Tick đúng nha
gtnn=1 áp dụng bđt :\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow x=y\)
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\Rightarrow t\ge2\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)
\(\Rightarrow B=2\left(t^2-2\right)-5t+6=2t^2-5t+2\)
\(B=\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\)
Do \(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-1>0\\t-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)
\(B_{min}=0\) khi \(t=2\) hay \(x=y\)
Thêm đk: x;y>0
\(P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+3\)
\(P\ge\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\left(2-3\right)+3\)
\(P\ge2\left(2-3\right)+3=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1
\(P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-5\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+5.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\)
Bn lm kĩ hơn đc k. Mk chưa hiểu lắm