Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài này dùng Cô si ngược dấu:
Áp dụng BĐT Cô si:\(\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\ge1-\frac{x^2}{2x}=1-\frac{x}{2}\)
Tương tự với ba BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:\(VT\ge4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)
Dấu "=' xảy ra tại a = b = c = 1
Vậy min A = 2 khi và chỉ khi a = b = c = 1
tth ngược dấu nhé
\(A=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}+\frac{1}{t^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4=\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z^2+1}\right)+\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge1-\frac{x}{2}+1-\frac{y}{2}+1-\frac{z}{2}+1-\frac{t}{2}=4-\frac{x+y+z+t}{2}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(-A+4\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(A\le2\)
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
Ta có: \(\frac{x+1}{y^2+1}=\left(x+1\right).\frac{1}{y^2+1}=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)\)
\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)
\(=6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\) (*)
Lại có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Thay vào (*),ta có: \(P\ge6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
dùng bdt cosi cho 2 só ko âm tương ứng: x^5+1/x....
T lớn hơn hoặc = 2x^2+2y^2+2z^2
T >= 2(x^2+y^2+z^2)
T >= 2(xy+yz+xz)
...............
vì x+y+z=1nên
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\)\(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)\(=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)=\(3+\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)
nen \(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\) =\(\left(\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{4xy}\right)+\left(\frac{yz}{y^2+z^2}+\frac{y^2+z^2}{4yz}\right)+\left(\frac{xz}{x^2+z^2}+\frac{x^2+z^2}{xz}\right)+\frac{3}{4}\)
\(\ge2.\frac{1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{2.1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)(dpcm)
dau = xay ra khi x=y=z=1/3
\(M=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{x}{2x}+\frac{y}{2y}+\frac{z}{2z}=\frac{3}{2}\)
Nên max M là \(\frac{3}{2}\) khi x=y=z=1
\(x+y+z=3\ge x,y,z\)\(\Rightarrow M\ge\frac{x}{10}+\frac{y}{10}+\frac{z}{10}=\frac{3}{10}\)
Nên min M là \(\frac{3}{10}\) khi trong x,y,z có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 3