Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c) \(P=\frac{x^2-2x+2012}{x^2}\) \(\left(x\ne0\right)\) và \(\left(x\ge1\right)\)
Ta có: \(P=\frac{x^2-2x+2012}{x^2}\) \(\Leftrightarrow\) \(P=\frac{2012x^2-2.2012x+2012^2}{2012x^2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(P=\frac{\left(x-2012\right)^2+2011x^2}{2012x^2}\) \(\Leftrightarrow\) \(P=\frac{\left(x-2012\right)^2}{2012x^2}+\frac{2011}{2012}\ge\frac{2011}{2012}\) với mọi \(x\ge1\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2012\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x-2012=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(x=2012\)
Vậy, \(P_{min}=\frac{2011}{2012}\) khi \(x=2012\)
b) Từ giả thiết \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2\) , ta suy ra \(ab+bc+ca=0\)
nên \(a^2+2bc=a^2+bc+\left(-ab-ac\right)=a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)
Tương tự, \(b^2+2ca=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\) \(;\) \(c^2+2ab=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
Do đó, \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{b-c+c-a+a-b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}=0\)
Ta có :
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{2}{x\left(x+1\right).2}=\frac{2013}{4030}\)
\(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{2013}{4030}\)
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{2013}{4030}\)
\(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{2013}{4030}\)
\(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow x+1=2015\)
\(\Rightarrow x=2015-1\)
\(\Rightarrow x=2014\)
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\\ \Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\\ \Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\left(1\right)\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\\ \Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2\left(cxy+bxz+ayz\right)}{abc}=1\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 suy ra điều cần chứng minh