K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 1 2022

\(\left\{{}\begin{matrix}x>y\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y>0\\xy=1\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2xy}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\left(\dfrac{2}{x-y}\right)}=2\sqrt{2}\Rightarrow MinP=2\sqrt{2}\)

31 tháng 5 2021

Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)\(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)

⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)\(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)

Vậy Pmin=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

 

 

31 tháng 5 2021

Không thỏa mãn điểm rơi kìa bạn

NV
13 tháng 12 2020

1. Với mọi số thực x;y;z ta có:

\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

1.1

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu:

\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))

\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)

NV
13 tháng 12 2020

2.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu

...

17 tháng 4 2022

Ta có \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xyz}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(yz\right)^2+\left(xz\right)^2+\left(xy\right)^2+2xyz}{\left(xyz\right)^2}=1\)

<=> (xy)2 + (yz)2 + (zx)2 + 2xyz = (xyz)2 

<=> (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 + 2xyz(x + y + z) = (xyz)2 

<=> (xy + yz + zx)2 = (xyz)2 

<=> \(\left[{}\begin{matrix}xy+yz+zx=xyz\\xy+yz+zx=-xyz\end{matrix}\right.\)

+) Khi xy + yz + zx = -xyz 

=> \(\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=-1< 0\left(\text{loại}\right)\)

=> xy + yz + zx = xyz 

<=> \(xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=xyz\Leftrightarrow xyz\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-1\right)=0\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

<=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+y+z}\)

<=> \(\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right)z}\)

<=> \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{xz+yz+z^2}+\dfrac{1}{xy}\right)=0\)

<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{\left(zx+yz+z^2\right)xy}=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{matrix}\right.\)

Khi x = -y => y = 1 => P = 1

Tương tự y = -z ; z = -x được P = 1

Vậy P = 1 

17 tháng 4 2022

tks b nha

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 5 2021

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(8x^4+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 4x(1)\)

\(8y^4+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 4y(2)\)

\(1=(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 4(3)\)

Lấy $(1)+(2)+(3)\Rightarrow 8(x^4+y^4)+3+\frac{1}{xy}\geq 4(x+y)+4=8$

$\Rightarrow 8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq 5$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

 

26 tháng 5 2021

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)=\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\left(1\right)\\16x^5-20x^3+5\sqrt{xy}=\sqrt{\dfrac{y+1}{2}}\left(2\right)\end{matrix}\right.\).

ĐKXĐ: \(xy>0;y\ge-\dfrac{1}{2}\).

Nhận thấy nếu x < 0 thì y < 0. Suy ra VT của (1) âm, còn VP của (1) dương (vô lí)

Do đó x > 0 nên y > 0.

Với a, b > 0 ta có bất đẳng thức \(\left(a+b\right)^4\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

\(\left(a+b\right)^4\le\left[2\left(a^2+b^2\right)\right]^2=4\left(a^2+b^2\right)^2\le8\left(a^4+b^4\right)\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^4\le8\left[8\left(x^4+y^4\right)+16x^2y^2\right]=64\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\le8\left(x^2+y^2\right)\). (3)

Lại có \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2=4\left(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\right)\). (4) 

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có \(\dfrac{x^6}{y^4}+xy+xy+xy+xy\ge5x^2;\dfrac{y^6}{x^4}+xy+xy+xy+xy\ge5y^2;3\left(x^2+y^2\right)\ge6xy\).

Cộng vế với vế của các bđt trên lại rồi tút gọn ta được \(\dfrac{x^6}{y^4}+2xy+\dfrac{y^6}{x^4}\ge2\left(x^2+y^2\right)\). (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra \(4\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)^2\ge\left(\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\right)^2\Rightarrow2\left(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\right)\ge\sqrt[4]{8\left(x^4+y^4\right)}+2\sqrt{xy}\).

Do đó đẳng thức ở (1) xảy ra nên ta phải có x = y.

Thay x = y vào (2) ta được:

\(16x^5-20x^3+5x=\sqrt{\dfrac{x+1}{2}}\). (ĐK: \(x>0\))

PT này có một nghiệm là x = 1 mà sau đó không biết giải ntn :v

 

 

https://olm.vn/hoi-dap/detail/227981379332.html

Bạn tham khảo ở đây nhé.