Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel
\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
\(A=\dfrac{2\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^4+y^2\right)\left(x^2+y^4\right)}=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{x^4y^4+x^2y^2+x^6+y^6}\)
\(=2.\dfrac{\left(x^3+y^3\right)}{1+1+x^6+y^6}=2.\dfrac{x^3+y^3}{x^6+y^6+2x^3y^3}=2.\dfrac{x^3+y^3}{\left(x^3+y^3\right)^2}=\dfrac{2}{x^3+y^3}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^3+y^3+1\ge3\sqrt{xy.1}=3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge2\Rightarrow\dfrac{2}{x^3+y^3}\le1\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow A\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1.
Vậy MaxA là 1, đạt được khi x=y=1.
1. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|=a\ge0\\\left|y\right|=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a+b=6\Rightarrow b=6-a\)
Thế vào \(a^2+b^2=26\)
\(\Rightarrow a^2+\left(6-a\right)^2=26\)
\(\Leftrightarrow2a^2-12a+10=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=5\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;5\right);\left(5;1\right);\left(-1;5\right);\left(5;-1\right);\left(1;-5\right);\left(-5;1\right);\left(-1;-5\right);\left(-5;-1\right)\)
2. Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) \(\forall x;y\)
\(\Rightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow P=x^2y^2\le\frac{\left(x+y\right)^4}{16}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)