d = 5(1 + 5 + 5²) + 5⁴(1 + 5 + 5²) + ...+ 5¹⁸(1 + 5 + 5²)

   = (1 + 5 + 5²).(5 + 5⁴ +...+ 5¹⁸)

   = 31.((5 + 5⁴ +...+ 5¹⁸) chia hết cho 31

Vậy: d chia cho 31 không dư

Dư 0 nhé

D = 1 + 5 + 5² + 5³ + 5⁴ +...+ 5¹⁹ + 5²⁰ - 1

D = (1 + 5 + 5²) + (5³ + 5⁴ + 5⁵) +...+ (5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰) - 1

D = (1 + 5 + 5²) + 5³ (1 + 5 + 5²) +...+ 5¹⁸ (1 + 5 + 5²) - 1

D = (1 + 5 + 5²) (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 1

D = 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 1

D = 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 + 30

Vì 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 chia hết cho 31 

Nên 31 (1 + 5³ +...+ 5¹⁸) - 31 + 30 chia cho 31 dư 30

Vậy D chia 31 dư 30 

D =5+5^2+5^3+......+5^19+5^20

→ Tổng D có số các số hạng là : (20-1)/1+1 =20

→ Ta chia tổng D thành 6 nhóm mỗi nhóm gồm 3 số và thừa ra ngoài 2 số

→ D = (5+5^2) + (5^3+5^4+5^5) + (5^6+5^7+5^8) + ........ + (5^18+5^19+5^20)

       =  (5+25) + 5^3.(1+5+5^2) + 5^6.(1+5+5^2) + ......... + 5^18.(1+5+5^2)

       =  30 + (5^3+5^6+.......+5^18).(1+5+25)

       =  30 + (5^3+5^6+.......+5^18).31

Ta thấy : 31 chia hết cho 31 nên (5^3+...+5^18).31 chia hết cho 31

             30 chia cho 31 dư 30

→ D chia cho 31 dư 30

 Vậy D chia cho 31 dư 30

Ta có :

A=5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ....... + 5^19 + 5^20

=> Tổng A có số hạng tử là: (20 -1)/1 + 1 = 20

=> Ta có thể chia tổng A thành 6 nhóm 3 số và thừa ra ngoài 2 số

A = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4 + 5^5) + .......... + (5^18 + 5^19 + 5^20)

=> A = ( 5 + 25) + 5^3*(1 + 5 + 5^2) + ...... + 5^18*(1 + 5 + 5^2)

=> A = 30 + (1 + 5 + 5^2)*(5^3 + .... + 5^18)

=>A = 30 + 31*(5^3 + ....... + 5^18)

Vì 31 chia hết cho 31 nên 31*(5^3 + ..... +5^18) cùng chia hết cho 31

mà 30 chia cho 31 dư 30

=> Tổng A chia cho 31 dư 30

Vậy A chia cho 31 dư 30

\(A=5+5^2+5^3\left(1+5+5^2\right)+5^6\left(1+5+5^2\right)+...+5^{18}\left(1+5+5^2\right)\)

\(A=5+25+\left(1+5+5^2\right)\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)\)

\(A=30+31\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)\)

Ta thấy \(31\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)⋮31\) dư 0

\(A=30+31\left(5^3+5^6+...+5^{18}\right)\div31\) dư 30

Đặt \(D=5+5^2+5^3+...+5^{20}\). 

\(\Leftrightarrow D=5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6+...+5^{18}+5^{19}+5^{20}\). Ta nhóm 3 số hạng một

\(\Leftrightarrow D=\left(5+5^2+5^3\right)+\left(5^4+5^5+5^6\right)...+\left(5^{18}+5^{19}+5^{20}\right)\)

\(\Leftrightarrow D=31.5+31.5^4+...+31.5^{19}\)

\(\Leftrightarrow D=31\left(5+5^4+...+5^{19}\right)\)

Đoạn tiếp tự làm nhé bạn!

Ta có: D=5+5²+5³+5⁴+5⁵+5⁶+...+5¹⁸+5¹⁹+5²⁰

=>      D=(5+5²+5³)+(5⁴+5⁵+5⁶)+...+(5¹⁸+5¹⁹+5²⁰)

=>      D=(5.1+5.5+5.5²)+(5⁴.1+5⁴.5+5⁴.5²)+...+(5¹⁸.1+5¹⁸.5+5¹⁸.5²)

=>      D=5(1+5+5²)+5⁴(1+5+5²)+...+5¹⁸(1+5+5²)

=>      D=5(1+5+25)+5⁴(1+5+25)+...+5¹⁸(1+5+25)

=>      D=5.31+5⁴.31+5¹⁸.31

=>      D=(5+5⁴+...+5¹⁸).31 chia hết cho 3

Vậy    D chia hết cho 31

a/ Ta có:

\(5A=5^2+5^3+...+5^{21}\)

\(\Rightarrow5A-A=\left(5^2+5^3+...+5^{21}\right)-\left(5+5^2+...+5^{20}\right)\)

\(\Rightarrow4A=5^{21}-5\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{5^{21}-5}{4}\)

b/ D ở đâu thế???

a) Ta có:

A = 5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰

5A = 5(5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰)

5A = 5² + 5³ +.....+ 5²⁰ + 5²¹

5A - A = (5² + 5³ +.....+ 5²⁰ + 5²¹) - (5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰)

4A = 5²¹ - 5

A = (5²¹ - 5) : 4

b) Ta có:

A = 5 + 5² + 5³ +.....+ 5²⁰

= 5 + 5² + (5³ + 5⁴ + 5⁵) + (5⁶ + 5⁷ + 5⁸) +....+ (5¹⁸ + 5¹⁹ + 5²⁰)

= 30 + 5³(1 + 5 + 5²) + 5⁶(1 + 5 + 5²) +....+ 5¹⁸(1 + 5 + 5²)

= 30 + 5³.31 + 5⁶.31 +...+ 5¹⁸.31

= 30 + (5³ + 5⁶ +....+ 5¹⁸) . 31

Vậy số dư khi chia D cho 31 là 30

Gọi tổng là S

\(S=1+\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(S=1+5.6+5^3.6+....+5^{2007}.6\)

\(S=1+6.\left(5+5^3+...+5^{2007}\right)\)

Vậy S chia 6 dư 1

\(S=\left(1+5+5^2\right)+\left(5^3+5^4+5^5\right)+....+\left(5^{2006}+5^{2007}+5^{2008}\right)\)

\(S=31.1+31.5^3+....+31.5^{2007}\)

\(S=31.\left(1+5^3+....+5^{2007}\right)\)

Vậy S chia hết cho 31 hay S chia 31 dư 0

\(A=\left(1+5+5^2\right)+....+\left(5+1+5^2\right).5^{97}+5^{99}\)\(A=31+....+5^{97}.31+5^{99}\)

ta thấy \(5^{99}=125^{33}\)

mà 125 chia 31 dư 1

suy ra 125^33 chia 31 dư 1

suy ra 5^99 chia 31 dư 1

Vậy A chia 31 dư 1

\(A=1+5+5^2+5^3+5^4+...+5^9.\)

   \(=1+5\left(1+5+5^2\right)+5^4\left(1+5+5^2\right)+5^7\left(1+5+5^2\right)\)

    \(=\left(1+5+5^2\right)\left(5+5^4+5^7\right)+1\)

\(=31\left(5+5^4+5^7\right)+1\)

Vậy A chia cho 31 dư 1 

Cảm ơn bn nha Nguyễn  Xuân Anh 😀