Question

[Nguyễn Thị Nga]

Tìm nghiệm nguyên: \(x^2-2x-11=y^2\)

Answer 1

[Nguyễn Anh Quân]

pt <=> (x^2-2x+1)-12 = y^2

<=> (x-1)^2 - 12 = y^2

<=> (x-1)^2-y^2 = 12

<=> (x-1-y).(x-1+y) = 12

Đến đó bạn dùng quan hệ ước bội để giải nha

Tk mk nha

Answer 2

[Lê Anh Tú]

Làm 2 cách cho bn dễ hiểu

C1: Đưa về phương trình ước số

\(x^2-2x-12=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-y^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1+y\right)\left(x-1-y\right)=12\)

NX: Vì (1) chứa y có mũ chẵn 

Nên có thể giả thiết rằng \(y\ge0\)

Vậy \(x-1+y\ge x-1-y\)

\(\left(x-1+y\right)-\left(x-1-y\right)=2y\)nên \(x-1+y\)và \(x-1-y\)cùng tính chẵn lẻ

Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn

Từ đó ,ta có 2 TH

\(\left(x-1+y,x-1-y\right)=\left(6,2\right),\left(-2,6\right)\)

Do đó \(\left(x,y\right)=\left(5,2\right),\left(-3,2\right)\)

Đs:(5;2),(5;-2),(-3,2),(-3;-2)

C2: Viết thành phương trình bậc 2 đối với x:

\(x^2-2x-\left(11+y^2\right)=0\)

\(\Delta'=1+11+y^2=12+y^2\)(với đk để (2) có nghiệm nguyên)

\(\Delta'\)là số chính phương

\(\Leftrightarrow12+y^2=k^2\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow k^2-y^2=12\)

\(\Rightarrow\left(k+y\right)\left(k-y\right)=12\)

Gỉa sử \(y\ge0\)thì \(k+y\ge k-y\)và \(k+y\ge0\)

\(\left(k+y\right)-\left(k-y\right)=2y\)

Nên: k+y và k-y cũng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn

NX: {+y=6k-y=2

Do đó y=2

Thay vào (2): \(x^2-2x-15=0\)

\(\Rightarrow x^1=5;x^2=-3\)( chỗ này mình cũngnghĩ khó hỉu)

Ta có 4 nghiệm:... ( đs ở câu a)