Question

[Taippp]

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x * y ^ 2 + y * z ^ 2 + z * x ^ 2 = 3xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x * z ^ 2)/(y(y ^ 2 + z ^ 2)) + (y * x ^ 2)/(z(z ^ 2 + x ^ 2)) + (z * y ^ 2)/(x(x ^ 2 + y ^ 2))

Answer 1

[Nguyễn Đức Hùng]

$x^2+y^2+z^2=3xyz\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}=3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{x}{yz};\frac{y}{xz}$ ta có: $\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\ge 2\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{y}{x}}=\frac{2}{z}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\ge \frac{2}{x};\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\ge \frac{2}{y}$

$\Rightarrow \left(\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}\right)+\left(\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}\right)+\left(\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\right)\ge \frac{2}{z}+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le 3$

Lại có: $x^4+yz\ge 2\sqrt{x^{4}yz}=2x^2\sqrt{yz}\Rightarrow \frac{x^2}{x^4+yz}\le \frac{1}{2\sqrt{yz}}=\frac{1}{4}\mathrm{.2.}\frac{1}{\sqrt{y}}.\frac{1}{\sqrt{z}}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Tương tự $\frac{y^2}{y^4+xz}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{z});\frac{z^2}{z^4+xy}\le \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$

Suy ra

$\begin{array}{c}P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le \frac{1}{4}(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\le \frac{3}{2}\\ =>P\le \frac{3}{2}\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{3}{2}$ khi x = y = z = 1.