Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng OA và E là điểm thuộc đường tròn tâm O (E không trùng A và B. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm O (Ax, By thuộc cùng nửa mặt phẳng AB có chứa điểm E). Qua E k đường thẳng d vuông góc với El cắt Ax, By lần lượt tại M và N. 1. Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp. 2. Chứng minh ENI-EBI; AE. IN=BE. IM. 3. Gọi P là giao điểm của AE và MI; Q là giao điểm của BE và NI. Chứng minh PQ vuông góc vớiBN
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: góc MAI+góc MEI=180 độ
=>MAIE nội tiếp
2: góc IEN+góc IBN=180 độ
=>IENB nội tiếp
MAIE nội tiếp
=>góc AMI=góc AEI
IENB nội tiếp
=>góc BIN=góc BEN
góc BEN+góc IEB=90 độ
góc AEI+góc BEI=90 độ
=>góc BEN=góc AEI
=>góc AMI=góc BIN
a: góc MAI+góc MEI=180 độ
=>MAIE nội tiếp
b: góc NEI+góc NBI=180 độ
=>NEIB nội tiếp
=>góc ENI=góc EBI
góc MIN=góc MIE+góc NIE
=góc MAE+góc NBE
=90 độ-góc EAI+90 độ-góc EBI
=90 độ
Cô hướng dẫn nhé nguyen van vu :)
a. Ta có góc COD = COM + MOD = \(\frac{AOM}{2}+\frac{BOM}{2}=\frac{180}{2}=90^o\)
b. Dễ thấy E là trung điểm CD, O là trung điểm AB nên OE song song AC. Vậy OE vuông góc AB.
c. Gọi MH là đường thẳng vuông góc AB, Ta chứng minh BC, AD đều cắt MH tại trung điểm của nó.
Gọi I là giao của AM và BD. Đầu tiên chứng minh ID = DB. Thật vậy, góc MID=IMD (Cùng bằng cung AM/2)
nên ID =MD, mà MD=DB nên ID=DB.
Gọi K là giao của MH và AD.
Theo Talet , \(\frac{MK}{DI}=\frac{AK}{AD}=\frac{KH}{BD}\Rightarrow MK=KH\)
Tương tự giao điểm của BC với MH cũng là trung điểm MH.
Tóm lại N trùng K hay MN vuông góc AB.
a. Em tự giải
b.
Do \(AM||BN\) (cùng vuông góc AB) \(\Rightarrow\widehat{AMN}+\widehat{BNM}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)
Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{AIE}=180^0\) (AMEI nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{AIE}=\widehat{BNM}\) (1)
Lại có \(\widehat{NBE}=\widehat{BAE}\) (cùng phụ \(\widehat{ABE}\)) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\Delta IAE\sim\Delta NBE\left(g.g\right)\) (3)
\(\Rightarrow\dfrac{IE}{NE}=\dfrac{IA}{NB}\Rightarrow IA.NE=IE.NB\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}IB.NE=IE.NB\Rightarrow IB.NE=3IE.NB\)
c.
AMEI nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{AEI}\) (cùng chắn AI)
Từ (3) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{NEB}\) \(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{NEB}\)
Lại có tứ giác BNEI nội tiếp (B và E đều nhìn IN dưới 1 góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{NEB}=\widehat{NIB}\) (cùng chắn NB)
\(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{NIB}\)
\(\Rightarrow\Delta_VAMI\sim\Delta_VBIN\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{BI}=\dfrac{AI}{BN}\Rightarrow AM.BN=AI.BI=\dfrac{R}{2}.\dfrac{3R}{2}=\dfrac{3R^2}{4}\)
Đặt \(AM=x>0\Rightarrow BN=\dfrac{3R^2}{4x}\)
Ta có: \(S_{MIN}=S_{ABNM}-\left(S_{AMI}+S_{BIN}\right)=\dfrac{\left(AM+BN\right).AB}{2}-\left(\dfrac{AM.AI}{2}+\dfrac{BN.BI}{2}\right)\)
\(=\dfrac{\left(x+\dfrac{3R^2}{4x}\right).2R}{2}-\left(\dfrac{x.\dfrac{R}{2}}{2}+\dfrac{\dfrac{3R^2}{4x}.\dfrac{3R}{2}}{2}\right)\)
\(=\dfrac{3Rx}{4}+\dfrac{3R^3}{16x}=\dfrac{3R}{4}\left(x+\dfrac{R^2}{4x}\right)\ge\dfrac{3R}{4}.2\sqrt{\dfrac{R^2x}{4x}}=\dfrac{3R^2}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{R}{2}\) hay \(AM=AI\)
a: Xét (O) có
DA,DC là tiếp tuyến
nên DA=DC và OD là phân giác của góc AOC(1)
mà OA=OC
nen OD là trung trực của AC
Xét (O) có
EC,EB là tiếp tuyến
nên EB=EC và OE là phân giác của góc COB(2)
mà OB=OC
nên OE là trung trực của BC
Từ (1), (2) suy ra góc DOE=1/2*180=90 độ
Xét tứ giác CHOK co
góc CHO=góc CKO=góc HOK=90 độ
nên CHOK là hình chữ nhật
b: OH*OD+OK*OE
=OC^2+OC^2
=2*OC^2
Mình gửi hình nhé