Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn \(\dfrac{2n+1}{3n+1}\) là bình phương của một phân số khác và 2n+9 là số nguyên tố.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(3n+6=x^3,n+1=y^3\)vì \(n\inℕ^∗\)nên \(x>1,y>3\)và x,y nguyên dương
\(\left(3n+6\right)-\left(n+1\right)=x^3-y^3\)
\(\Leftrightarrow2n+5=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)
Vì 2n+5 là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước là 1 và 2n+5 mà (x-y) và (x2+xy+y2) cũng là 2 ước của 2n-5 nên:
\(\orbr{\begin{cases}x-y=1,x^2+xy+y^2=2n+5\\x^2+xy+y^2=1,x-y=2n+5\end{cases}}\)mà \(x>1,y>3\)nên vế dưới không thể xảy ra.
Vậy \(\hept{\begin{cases}x=y+1\\x^2+xy+y^2=2n+5\end{cases}}\)thay vế trên vào vế dưới\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2+y\left(y+1\right)+y^2=2n+5\)
\(\Rightarrow3y^2+3y+1=2n+5\)
Vậy ta xét \(\hept{\begin{cases}3y^2+3y+1=2n+5\\y^3=n+1\Rightarrow2y^3=2n+2\end{cases}}\)trừ 2 biểu thức vế theo vế:
\(\Rightarrow-2y^3+3y^2+3y+1=3\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-2\right)\left(1-2y\right)=0\)
Vì nguyên dương nên nhận y=2--->n=7
Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:
\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)
Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)
\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)
Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\) => (a - 1).(a - 9) = 0
=> a = 9. Từ đó ta có n = 40
Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40
Ta có:
\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)
Từ gt \(\Rightarrow n,k\ge2\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1>1;n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{matrix}\right.\) trong đó \(\left\{{}\begin{matrix}r\ge s>0\\r+s=k\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\) (1)
Mặt khác:
\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)
\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)
Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=5\\k=2\end{matrix}\right.\)
Vậy bộ số (n,k,p)=(2,2,5)
\(...\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\).
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}n^2+n-1=p^v\\n^3-n-1=p^u\end{matrix}\right.\left(v,u\in N;v+u=k\right)\).
+) Với n = 2 ta có \(p^k=25=5^2\Leftrightarrow p=5;k=2\)
+) Với n > 2 ta có \(n^3-n-1>n^2+n-1\Rightarrow v>u\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n-1\right)+n-2⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n+3\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow6⋮n^2+n-1\).
Không tồn tại n > 2 thoả mãn
Vậy...
Ta có :
\(10\le n\le99\)
\(\Rightarrow21\le2n+1\le201\)
\(\Rightarrow2n+1\) là số chính phương lẻ (1)
\(\Rightarrow2n+1\in\left\{25;49;81;121;169\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{12;24;40;60;84\right\}\)
\(\Rightarrow3n+1\in\left\{37;73;121;181;253\right\}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{2n+1}{3n+1}=\dfrac{2.40+1}{3.40+1}=\dfrac{81}{121}=\left(\dfrac{9}{11}\right)^2\left(n=40\right)\)
\(\Rightarrow dpcm\)
\(\Rightarrow n=40⋮40\Rightarrow dpcm\)
Ta có:
\(n^5+n^4-2n^3-2n^2+1=p^k\Leftrightarrow\left(n^2+n-1\right)\left(n^3-n-1\right)=p^k\)
Từ giả thiết \(\Rightarrow n,k\ge2\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}n^3-n-1>1,n^2+n-1>1,\forall n\ge2\\\left(n^3-n-1\right)-\left(n^2+n-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-2\right)\ge0,\forall n\ge2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3-n-1=p^r\\n^2+n-1=p^s\end{cases}}\) trong đó \(\hept{\begin{cases}r\ge s\ge0\\r+s=k\end{cases}}\)
\(\Rightarrow n^3-n-1⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n^3-n-1-\left(n-1\right)\left(n^2+n-1\right)⋮n^2+n-1\)
\(\Rightarrow n-2⋮n^2+n-1\) (1)
Mặt khác :
\(\left(n^2+n-1\right)-\left(n-2\right)=n^2+1>0,\forall n\)
\(\Rightarrow n^2+n-1>n-2\ge0,\forall n\ge2\) (2)
Từ (1) và (2) => n=2 => \(p^k=25\Rightarrow\hept{\begin{cases}p=5\\k=2\end{cases}}\)
Vậy bộ số cần tìm là (n,k,p)=(2,2,5)
Lời giải:
Đặt tổng trên là $A$.
Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)
Xét $n\geq 2$. Khi đó:
$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$
$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$
Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.
Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.
Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý
Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.