Cho tam giác \(ABC\) \(\left(AB AC\right)\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(O\right)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng cắt \(BC\) tại \(K\) (\(K\) nằm ngoài đường tròn) sao cho \(HM\) cắt \(AK\) tại \(G\) \(\left(G\in\left(O\right)\right)\). Chứng minh rằng: Ba điểm \(E,F,K\) thẳng...
Đọc tiếp
Cho tam giác \(ABC\) \(\left(AB< AC\right)\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(O\right)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng cắt \(BC\) tại \(K\) (\(K\) nằm ngoài đường tròn) sao cho \(HM\) cắt \(AK\) tại \(G\) \(\left(G\in\left(O\right)\right)\). Chứng minh rằng: Ba điểm \(E,F,K\) thẳng hàng.
Nối E với F và nối K với F
Ta có
E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc \(90^o\) => BCEF là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BEK}=\widehat{KCF}\) (góc nt cùng chắn cung BF) và
\(\widehat{CFE}=\widehat{CBE}\) (góc nt cùng chắn cung CE) (1)
Xét tg BKE và tg FKC có
\(\widehat{BEK}=\widehat{KCF}\) (cmt)
\(\widehat{EKC}\) chung
\(\Rightarrow\widehat{KBE}=\widehat{KFC}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{KBE}+\widehat{CBE}=\widehat{KFC}+\widehat{CFE}\)
Mà \(\widehat{KBE}+\widehat{CBE}=\widehat{KBC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{KFC}+\widehat{CFE}=180^o\)
=> E; F; K thẳng hàng