cho ba số x>y>z>0 khôn âm.Chứng minh x+y+z\(\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
C
0
C
1
31 tháng 10 2021
Đề lạ thế bạn ơi! Vế trái luôn không âm mà vế phải luôn không dương nên đây là điều hiển nhiên.
Mình nghĩ đề phải chứng minh thế này:
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
Nếu thế thì cách làm như sau:
Ta có: Do x, y, z không âm nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2\sqrt{xy}\ge0\\y+z-2\sqrt{yz}\ge0\\z+x-2\sqrt{xz}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}\Leftrightarrow x=y=z\)
VL
2
27 tháng 8 2018
Vì x;y;z >0
Nên áp dụng BĐT Cô-Si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow\frac{y+z}{2}\ge\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow\frac{x+z}{2}\ge\sqrt{xz}\)
CỘng vế theo vế ta được: \(\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}=\frac{2x+2y+2z}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
P/s: sai sót xin bỏ qua cho
TN
27 tháng 8 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
x+y\(\ge2\sqrt{xy}\)
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Từ đó suy ra
\(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)
2 tháng 4 2021
Đặt \(A=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)
Ta có:
\(x^2+xy+yz+zx=x+xyz=x\left(x+yz\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x\left(x+yz\right)}{x}=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}\)
\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}=\frac{\left(x^2+xy\right)+\left(yz+zx\right)}{x}=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)
Vì x, y, z >0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số dương, ta được:
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x^2}.+\sqrt{yz}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)
Do đó \(\sqrt{x+yz}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\sqrt{y+xz}\ge\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\left(2\right)\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\sqrt{z+xy}\ge\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3), ta được:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)\(\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{yz+zx+xy}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}\)(vì \(xy+yz+zx=xyz\))
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\xy+yz+zx=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
Vậy với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx =xyz thì:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\).
\(\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)
\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)
Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$
Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$
BĐT $(*)$ trở thành:
$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$
$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$
$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$
Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$
Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
7 tháng 3 2021
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
7 tháng 3 2021
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
N
12 tháng 3 2017
solution:
ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)
tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:
\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:
\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)
đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1
*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):
\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)
\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
Do \(x>y>z>0\), nên ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\x+z\ge2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\) (bất đẳng thức Cô-si)
Cộng ba bất đẳng thức theo từng vế, ta được:
\(x+y+y+z+x+z\ge2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{xz}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\) (điều phải chứng minh).
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm, ta có:
$x+y\geq 2\sqrt{xy}$
$y+z\geq 2\sqrt{yz}$
$z+x\geq 2\sqrt{zx}$
$\Rightarrow x+y+y+z+z+x\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})$
$\Rightarrow x+y+z\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$