Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =2a, đường cao Ah. Gọi HE, HF lần lượt là đường cao của các tam giác AHB, AHC
a) CMR: BC.BE.CF= và (mình làm đc rồi)
b) Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng EF, diện tích tứ giác AEHF
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông AHB,AHC, ABC có các đường cao ta có:\(BE=\frac{BH^2}{AB};CF=\frac{HC^2}{AC};BE.CF=\frac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}\); \(BC=\frac{AB^2}{AH}\)
\(BC.CE.CF=\frac{AB^2}{AH}.\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^3.AB}{AC}=AH^3.\frac{AB}{AC}\).
tam giác này người ta k cho cân => AB/AC không =1 đc => BC.BE.CF khác AH^3
\(EB=\frac{BH^2}{AB};FC=\frac{HC^2}{AC}\Rightarrow\frac{EB}{FC}=\frac{BH^2.AC}{AB.HC^2}\). VỚI TAM GIÁC ABC TA CÓ: \(BH=\frac{AB^2}{BC}\Rightarrow BH^2=\frac{AB^4}{BC}\Leftrightarrow HC^2=\frac{AC^4}{BC}\) => \(\frac{EB}{FC}=\frac{\frac{AB^4}{BC}.AC}{AB.\frac{AC^4}{BC}}=\frac{AB^4.AC.BC}{AB.AC^4.BC}=\frac{AB^3}{AC^3}\)
B) C/M TỨ GIÁC AEHF LÀ HÌNH CHỮ NHẬT => EF=AH(T/C) => EF LỚN NHẤT <=> AH LỚN NHẤT
TỪ A KẺ TRUNG TUYẾN AM. \(AH\le AM\) (ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN) => AH LỚN NHẤT KHI AH=AM <=> AH=1/2 BC=1/2a<=> EF LỚN NHẤT =1/2a (AM LÀ TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC VUÔNG => = 1/2 CẠNH HUYỀN)
TỪ CÁC CÔNG THỨC ĐÃ LẬP Ở TRÊN, S AEHF=AE.AF=\(\frac{AH^2}{AB}.\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB.AC}=\frac{AH^4}{\sqrt{BH.BC.HC.BC}}=\frac{AH^4}{BC\sqrt{AH^2}}=\frac{AH^3}{BC}\)
CHỈ LÀM ĐC ĐẾN ĐÂY THÔI :-/ DÙ SAO CŨNG ĐC ÍT NHIỀU :)
Hình thì e tự vẽ nha
a) Dễ dàng c/m đc AEHF là hcn => AH = EF
Áp dụng hệ thức lượng ta có
\(BC^2=\left(BH+CH\right)^2=BH^2+CH^2+2AH.BH\)
\(=BE^2+HE^2+CF^2+HF^2+2AH^2=BE^2+CF^2+2AH^2+\left(HE^2+HF^2\right)\)
\(=BE^2+CF^2+2AH^2+EF^2=BE^2+CF^2+2AH^2+AH^2\)
\(=BE^2+CF^2+3AH^2\)
b) \(\Delta ABH\) có \(BE=\frac{BH^2}{AB}\) \(\Rightarrow BE^2=\frac{BH^4}{AB^2}\)
Tương tự \(CF^2=\frac{CH^4}{AC^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
Do đó \(BE^2+CF^2=\frac{BH^4}{AB^2}+\frac{CH^4}{AC^2}\ge\frac{\left(BH^2+CH^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\ge\frac{\left[\frac{\left(BH+CH\right)^2}{2}\right]^2}{BC^2}=\frac{\left[\frac{BC^2}{2}\right]^2}{BC^2}\)
\(=\frac{\frac{BC^4}{4}}{BC^2}=\frac{BC^2}{4}=\frac{\left(2a\right)^2}{4}=a^2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow BH=CH\) hay H là trung điểm BC.
Như vậy AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến
=> Tam giác ABC vuông cân tại A.
p/s: làm lụi thôi nha, ko bt đúng ko nữa. Đúng thì cho mk 1 k nha
Câu hỏi của Nguyễn Tấn Phát - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo!
Ta thấy ngay DE = AH do EHDA là hình chữ nhật.
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y, khi đó ta có: \(AH=\frac{xy}{2a}\le\frac{x^2+y^2}{4a}=\frac{4a^2}{4a}=a\)
Vậy độ dài lớn nhất của DE là a, khi tam giác ABC vuông cân tại A.