Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Sói mò đến nhà bà cô bé trùm khăn đỏ vì cô bé chỉ nhà bà cho Sói.
b)Cô đã phải ân hận do thiếu cảnh giác
c)Hai bà cháu cô bé trùm khăn đỏ thoát chết nhờ bác thợ săn cứu giúp .
d)Vì bác đă cứu mạng cho hai bà cháu nên cô bé cảm ơn bác thợ săn rất nhiều.
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)
Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)
\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được cm
Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
Ta có:
\(\frac{bc}{a^2+1}\le\frac{1}{4}.\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2+b^2+a^2+c^2}\)
\(\le\frac{1}{4}.\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)\)(1)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{ac}{b^2+1}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\right)\\\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{c^2+b^2}\right)\end{cases}}\)
Cộng mấy cái trên vế theo vế ta được
\(\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ac}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{c^2+b^2}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\)
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a^2+b^2}+\frac{bc}{a^2+c^2}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{2ab}+\frac{bc}{2ac}\right)\)