K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

6 tháng 5 2017

\(2a^3+8a\le a^4+16\)

\(\Leftrightarrow2a^3+8a-a^4-16\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a^3-a^4\right)+\left(8a-16\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-a^3\left(a-2\right)+8\left(a-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-2\right)\left(a^3-8\right)\le0\Leftrightarrow-\left(a-2\right)^2\left(a^2+2a+4\right)\le0\)

TA THẤY : \(\left(a-2\right)^2\left(a^2+2a+4\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow-\left(a-2\right)^2\left(a^2+2a+4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow2a^3+8a\le a^4+16\left(dpcm\right)\)

DẤU " = " XẢY RA KHI X = 2

TK CHO MK NKA !!!

7 tháng 5 2017

cảm ơn bạn

27 tháng 4 2023

a) a > b

⇒ 2a > 2b (nhân hai vế với 2 > 0)

⇒ 2a - 3 > 2b - 3 (cộng hai vế với -3)

b) a < b

⇒ -3a > -3b (nhân hai vế với -3 < 0)

⇒ -3a + 2 > -3b + 2 (1) (cộng hai vế với 2)

5 > 2

⇒ -3a + 5 > -3a + 2 (2) (cộng hai vế với -3a)

Từ (1) và (2) ⇒ -3a + 5 > -3b + 2

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2021

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

NV
15 tháng 6 2020

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

30 tháng 9 2015

Phản chứng rằng tất cả đều đúng. Tích các bất đẳng thức lại cho ta 

\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)>\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{8}\times\frac{3}{32}=\frac{1}{256}.\)

Mặt khác, ta có \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\to a\left(1-a\right)\le\frac{1}{4}.\) Tương tự \(b\left(1-b\right),c\left(1-c\right),d\left(1-d\right)\le\frac{1}{4}\to\)
\(a\left(1-a\right)b\left(1-b\right)c\left(1-c\right)d\left(1-d\right)

Đây á

\(\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)^2.\left(a+b\right)=\left(a^2+2ab+b^2\right)\left(a+b\right)\)=\(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)(đpcm)

23 tháng 4 2020

Tất nhiên là SOS giải được, ye ye!

\(\sum a(a-b)(a-c) = \frac{3abc \sum (a-b)^2 + (a+b+c) \sum (a+b-c)^2 (a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)} \geqq 0\)