Question

[Đỗ Yến Nhi]

1. Cho 2 số a, b thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh rằng: a^ 3 + b^ 3 >= 1/2 2. Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: a^ 2 + 5b^ 2 - ( 3a + b ) >= 3ab - 5 3. Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.Chứng minh rằng: a^ 2+ b^ 2 + c^ 2 < 2( ab + bc + ca )

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

1. bổ sung thêm +ab

Ta có : a³ + b³ + ab = ( a + b )( a² - ab + b² ) + ab = a² - ab + b² + ab = a² + b²

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta có :

\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

=> a³ + b³ + ab ≥ 1/2 ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/2

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

2. nhìn căng đét làm sau :>

3. Theo bđt tam giác ta có : \(\hept{\begin{cases}a-b< c\\b-c< a\\c-a< b\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2< c^2\\\left(b-c\right)^2< a^2\\\left(c-a\right)^2< b^2\end{cases}}\)

Cộng vế với vế các bđt trên và thu gọn ta có đpcm