Cho \(\frac{a}{-4}=\frac{b}{5}\) và a2 + 2b2 = 16,5
Tính GTLN của a + b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CH
1
TN
21 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2}{3}a^2+\frac{3}{2}b^2\ge2ab\)
\(\frac{b^2}{2}+2c^2\ge2bc\)
\(3c^2+\frac{a^2}{3}\ge2ac\)
\(\Rightarrow2A\le a^2+2b^2+5c^2=22\Rightarrow A\le11\)
\("="\Leftrightarrow a=3;b=2;c=1\)
HV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 1 2018
Lời giải:
Bài này bạn chỉ cần ứng dụng phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT AM_GM là ổn.
Thật vậy. Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{3}+3c^2\geq 2\sqrt{a^2c^2}=2|ac|\geq 2ac\)
\(\frac{2a^2}{3}+\frac{3b^2}{2}\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab\)
\(\frac{b^2}{2}+2c^2\geq 2\sqrt{b^2c^2}=2|bc|\geq 2bc\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow a^2+2b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow 22\geq 2(ab+bc+ac)\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq 11\)
Vậy \(A_{\max}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(3,2,1)\)
VT
2
31 tháng 10 2017
\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13\)có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}\)
24 tháng 9 2019
A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}A=aa−1+bb−1+cc−4=1−a1+1−b1+1−c4
=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13=3−(a1+b1+c4)≤3−a+b+c(1+1+2)2=3−16=−13có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}⇔a=b=41;c=21
DD
3
17 tháng 11 2016
Vì a/-4=b/5 => a^2/16 =2b^2/50
Áp dụng t/c dãy các tỉ số bang nhau voi a^2+2b^2=16,5 ta có:
a^2/16=2b^2/50=a^2+2b^2/16+50=16,5/66=0,25
-> a^2/16=0,25 => a^2=0,25.16=4=> a =2 hoặc a=-2
*Trường hợp a=2 ta có : 2/-4=b/5 =>-1/2=b/5 =>b=(-1).5/2= -5/2=-2,5
*Trường hợp a= -2 ta có : -2/-4=b/5 => 1/2=b/5 =>b=1.5/2=5/2=2,5
Vậy GTLN của a+b=(-2,5)+2,5=0
Mình không chắc lắm
9 tháng 8 2020
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
16 tháng 10 2020
Do a,b > 0 => \(1-\frac{1}{a}\) và \(1-\frac{1}{b}\)luôn dương
Áp dụng bđt : \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
P = \(\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}\right)^2=\frac{1}{4}\left[2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (a,b > 0) (1)
CM bđt đúng: Từ (1) <=> \(\left(\frac{x+y}{xy}\right)\left(x+y\right)\ge4\)
<=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Khi đó: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=\frac{4}{4}=1\)
=> \(2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le2-1=1\) => \(\frac{1}{4}\left[2-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2\le\frac{1}{4}.1^2=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 2
Vậy MaxP = 1/4 khi a =b = 2