Question

[Muội Yang Hồ]

- Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nho BD lấy một điểm M (M khác B và D), Tiếp tuyến tại M cắt tỉa AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở F. . a) Chứng minh ODMF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng tam giác EFM cân,

c) Trên đoạn AO lấy một điểm G (G khác A và O). Hai tia DF vi DG lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N và P. Chứng minh rằng DE.DN =DG.DP.

 

Answer 1

[Lê Song Phương]

Không vẽ hình vì sợ duyệt.

a) Dễ thấy \(\widehat{CMD}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Theo đề bài, ta thấy \(\widehat{COF}=90^0\) , từ đó \(\widehat{CMD}=\widehat{COF}\left(=90^0\right)\)

Xét tứ giác ODMF, có \(\widehat{COF}\) là góc ngoài tại O và\(\widehat{COF}=\widehat{DMF}\)\(\Rightarrow\)Tứ giác ODMF là tứ giác nội tiếp (dhnb)

b) Xét (O) có \(\widehat{EFM}\)là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên \(\widehat{EFM}=\frac{sđ\widebat{AC}+sđ\widebat{BM}}{2}\)

Mặt khác \(sđ\widebat{BC}=sđ\widebat{AC}\left(=90^0\right)\)nên \(\widehat{EFM}=\frac{sđ\widebat{BC}+sđ\widebat{BM}}{2}=\frac{sđ\widebat{CM}}{2}\)(1)

Lại có \(\widehat{EMC}\)là góc tạo bởi tia tiếp tuyến ME và dây MC nên \(\widehat{EMC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{CM}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{EFM}=\widehat{EMC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{CM}\right)\)\(\Rightarrow\Delta EFM\)cân tại E.

c) Bạn xem lại đề.

Answer 2

[๖ۣۜLuyri Vũ๖ۣۜ]

a, CME là góc tạo bởi tia tiếp tia tiếp tuyến và dây cung => CME= 1/2 sđ cung MC 

CDM là góc nội tiếp đường tròn => CDM = 1/2 sđ cung MC 

=> CME = CDM = OMD ( do tg ODM cân , OD= OM= R)

Mà CME + CMO = 90 độ =>  CMO + OMD = 90 <=> DMF = 90 độ 

Tg ODMF có DOF + DMF = 180 độ

=> Tg ODMF là tg nội tiếp  (tổng hai góc đối = 180 độ)

b, Tg ODMF nội tiếp => ODM = MFE ( góc trong = góc ngoài đỉnh đối diện ) 

Mà ODM = EMF = 1/2 sđ cung MC => EMF = EFM

=> Tg EFM cân tại E

c, Bạn xem lại thử đề nhé :v mk vẽ hình có vẻ ko đùng lắm