Cho x,y>0 thỏa mãn x+y+2 =4xy
tìm gtnn của biểu thức \(x+y+\dfrac{1}{x+y}\)
em cảm ơn ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B
2
Những câu hỏi liên quan
DN
2
1 tháng 6 2021
\(x+y+2=4xy\Rightarrow x+y+2\le\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\ge0\) (do x+y+1>0 với mọi x,y>0)
\(\Leftrightarrow x+y\ge2\)
Có \(x+y+\dfrac{1}{x+y}=\left(x+y\right)+\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{3}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{4}{x+y}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> x=y=1
Vậy GTNN của biểu thức là \(\dfrac{5}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 4 2021
\(y=2+\dfrac{6}{x-3}\)
\(P=3x\left(2+\dfrac{6}{x-3}\right)+2x+2+\dfrac{6}{x-3}\)
\(P=8x+2+\dfrac{18x}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}=8x+20+\dfrac{60}{x-3}\)
\(P=8\left(x-3\right)+\dfrac{60}{x-3}+44\ge2\sqrt{\dfrac{480\left(x-3\right)}{x-3}}+44=44+8\sqrt{30}\)
\(P_{min}=44+8\sqrt{30}\) khi \(8\left(x-3\right)=\dfrac{60}{x-3}\Leftrightarrow x=\dfrac{6+\sqrt{30}}{2}\)
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
31 tháng 5 2021
Áp dụng bđt : \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)(dấu "=" xảy ra ⇔ a=b)
⇒ P= \(\dfrac{1}{x+1}\)+ \(\dfrac{1}{y+2}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+1+y+2}\) = \(\dfrac{4}{3+3}\) = \(\dfrac{2}{3}\)
Vậy Pmin=\(\dfrac{3}{2}\) ; dấu '=" xảy ra ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=y+2\\x+y=3\end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)
\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
XO
21 tháng 4 2022
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)
Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)
Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
Nếu tồn tại 1 số bằng 0 \(\Rightarrow P=1\)
Nếu x;y đều dương:
\(P=\dfrac{x^2}{xy+x}+\dfrac{y^2}{xy+y}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2+x+y}=\dfrac{2}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Bài này có thể tìm được cả max:
\(\left\{{}\begin{matrix}y+1\ge1\Rightarrow\dfrac{x}{y+1}\le x\\x+1\ge1\Rightarrow\dfrac{y}{x+1}\le y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{x+1}\le x+y=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right)\) và hoán vị
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương, ta có:
\(\left[\left(x+y\right)+\dfrac{1}{x+y}\right]\ge2\sqrt{\left(x+y\right).\dfrac{1}{x+y}}=2\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x+y=\dfrac{1}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=1\)
2