Cho x, y dương thỏa mãn \(x^2+y^2=1\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3< 1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
6 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
14 tháng 9 2018
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(\Rightarrow VT=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
KN
9 tháng 12 2020
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Rightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Rightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{2+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}{x}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\); \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{2}{z}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\)\(\le3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}=xyz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
1 tháng 2 2023
Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
=> (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " (2) ; (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) =>
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
:()
10 tháng 6 2019
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
Đag lm nhà bj mất điện, đến h đc 2 tiếng r mà ch godd nào đụng à?!
Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x^3}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow1\le\left(x^3+y^3\right)\sqrt{2}\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mặt khác ta lại có: \(\left(x,y\right)\in\left[0,1\right]\Rightarrow0\le x,y\le1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x^3\\y^2\ge y^3\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2\ge x^3+y^3\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
P/s: \(x^3+y^3\le1\) có thể xảy ra dấu "="