cho a,b thỏa mãn \(a^2+b^2\le8\)chứng minh \(-4\le a+b\le4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=a^2+b^2-ab\ge a^2+b^2-\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le8\)
\(a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow-ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow4=a^2+b^2-ab\le a^2+b^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{3\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\le a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{8}{3}\le a^2+b^2\le4\)
ND
1
CD
4
TT
1
16 tháng 11 2017
Đề sai. Nếu a=2;b=1;c=0 thì \(a^4+b^4+c^4=16+1+0=17\)
\(a^2+b^2+c^2=4+1+0=5\)
A
0
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 4 2021
\(a\in\left[-2;5\right]\Rightarrow\left(a+2\right)\left(a-5\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2\le3a+10\)
Tương tự: \(b^2\le3b+10\Rightarrow2b^2\le6b+20\)
\(c^2\le3c+10\Rightarrow3c^2\le9c+30\)
Cộng vế:
\(a^2+2b^2+3c^2\le3\left(a+2b+3c\right)+60\le66\) (đpcm)
TT
2
8 tháng 7 2020
Khá là ngại đánh máy bạn vào TKHĐ của mình xem hình ảnh nhé !
16 tháng 7 2020
Mình xài p,q,r nhé :))
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)
\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)
\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )
T
21 tháng 7 2020
\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)
\(=p^3-3pq+3r\)
--------------------------------------
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)
\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)
Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq
Ta chứng minh:\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Khi đó:\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\le16\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le16\Rightarrow-4\le a+b\le4\Rightarrowđpcm\)