Cho x,y > 0 và x + y ≤ 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
Q = \(\left(x+\frac{2}{x}\right)^2+\left(y+\frac{2}{y}\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)(1)
Lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}=\frac{4}{1}=4\)(2)
Từ (1) và (2) => \(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy MinA = 18
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 4 2020
\(C=\frac{\left(x+y+2\right)^2}{xy+2\left(x+y\right)}+\frac{xy+2\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{8}{9}.\frac{\left(x+y+2\right)^2}{xy+2\left(x+y\right)}+\frac{\left(x+y+2\right)^2}{9\left(xy+2x+2y\right)}+\frac{xy+2x+2y}{\left(x+y+2\right)^2}\)
\(C\ge\frac{4}{9}.\frac{2x^2+2y^2+4xy+8x+8x+8}{xy+2x+2y}+2\sqrt{\frac{\left(x+y+2\right)^2\left(xy+2x+2y\right)}{9\left(xy+2x+2y\right)\left(x+y+2\right)^2}}\)
\(C\ge\frac{4}{9}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+4\right)+\left(y^2+4\right)+4xy+8x+8y}{xy+2x+2y}+\frac{2}{3}\)
\(C\ge\frac{4}{9}.\frac{2xy+4x+4y+4xy+8x+8y}{xy+2x+2y}+\frac{2}{3}\)
\(C\ge\frac{4}{9}.\frac{6\left(xy+2x+2y\right)}{xy+2x+2y}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
\(C_{min}=\frac{10}{3}\) khi \(x=y=2\)
27 tháng 3 2020
Cho mình hỏi bài này sử dụng bđt cauchy trực tiếp luôn có được không?
10 tháng 5 2019
Chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giờ thì chứng minh thôi:3
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz dạng engel ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}\)
\(=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
26 tháng 5 2019
Bài này bạn làm đúng rồi nhưng mà bạn bị nhầm phép tính: \(\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{4}{1}\right]^2}{2}=18\)
=> Min P=18
7 tháng 12 2017
Ta có: P = \(P=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right).\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{1}{y}\right)\) (HĐT số 3)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}{xy}\)
\(=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right).\frac{-x.-y}{xy}\)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y)
= 1 + 1/(xy) + (1/x + 1/y) = 1 + 1/(xy) + (x + y)/xy
= 1 + 1/(xy) + 1/(xy) = 1 + 2/(xy)
Áp dụng bđt: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1+2}{\frac{1}{4}}=9\)
Vậy PMin = 9 xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\) \(\frac{1}{2}\)
\(Q\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}+y+\frac{2}{y}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{8}{x+y}\right)^2\)
\(Q\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{x+y}\right)^2\)
\(Q\ge\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{4\left(x+y\right)}{x+y}}+\frac{4}{2}\right)^2=18\)
\(Q_{min}=18\) khi \(x=y=1\)