Cho x và y là 2 số dương.
Cmr:4x-(x+y).(1+x/y)<=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 11 2021
Đặt vế trái là P
Ta có: \(P=\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\right)-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)^2-3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+2\)
Đặt \(a=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\sqrt[]{\dfrac{xy}{xy}}=2\Rightarrow a-2\ge0\)
\(\Rightarrow P=a^2-3a+2=\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2\) hay \(x=y\)
HN
1
28 tháng 12 2019
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có : \(\sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\le\frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}=\frac{x+y+z}{2x}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự : ....
Cộng từng vế BĐT, ta được : \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+z\\y=x+z\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=0\)( trái với gt ) nên dấu "=" không xảy ra
19 tháng 8 2018
\(x+y-2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2\ge0\)
Do : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\\\left(\sqrt{y}-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2\ge0\)
Vậy đẳng thức được chứng minh !
TN
1
MC
9 tháng 3 2019
\(-\text{Theo bài ra: }D=\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\)
\(-\text{Đặt }\left\{{}\begin{matrix}a=2x+y+z\\b=2y+z+x\\c=2z+x+y\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=4\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow a-\dfrac{a+b+c}{4}=x\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{3a-b-c}{4}\)
\(-\text{Tương tự: }\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{3b-c-a}{4}\\z=\dfrac{3c-a-b}{4}\end{matrix}\right.\)
Suy ra \(D=\dfrac{3a-b-c}{4a}+\dfrac{3b-3c-a}{4b}+\dfrac{3c-a-b}{4c}\)
\(D=\dfrac{9}{4}-\left(\dfrac{b}{4a}+\dfrac{c}{4a}+\dfrac{c}{4b}+\dfrac{a}{4b}+\dfrac{a}{4c}+\dfrac{b}{4c}\right)\)
\(D=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\left[\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\right]\)
- Theo bất đẳng thức Cosi, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\\\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\\\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\end{matrix}\right.\)
Suy ra \( D\le\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}.6=\dfrac{9}{4}-\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Vậy \(D\le\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
TK
1
5 tháng 1 2018
Ta có\(\dfrac{x}{x+y}>\dfrac{x}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{y+z}>\dfrac{y}{x+y+z}\\\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{z}{x+y+z}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế ta được: \(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}>\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\left(đpcm\right)\)
VC
30 tháng 10 2021
B3 : t chỉ m r á :3
B4 :
Ta có :
C= 4x ( x + y ) ( x + y + z ) ( y + z ) + y2x2
= 4x ( x + y + z ) ( x + y ) ( x + z ) + y2x2
= 4 ( x2 + xy + xz ) ( x2 + xy + xz + yz ) + y2x2
Đặt a = x2 + xy + xz và b= yz , ta có :
⇒ C = 4a( a + b ) + b2
= b2 + 4ab + 4a2
= ( b + a )2
⇒ C là số chính phương
Chúc mừng m đã ghi xong bài , nhớ tick cho t nhoa bff!
Ta có: \(4x-\left(x+y\right)\left(1+\frac{x}{y}\right)=4x-\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{y}\)
\(=\frac{4xy-\left(x+y\right)^2}{y}=\frac{-\left(x-y\right)^2}{y}\le0\) với mọi x; y dương
Dấu "=" xảy ra <=> x = y.