Question

[Nguyễn Ngọc Oanh]

tính A=1^3+2^3+3^3+...+n^3 (n thuộc N*)

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Áp dụng công thức 

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+..+n\right)^2\)(1)

Để c/m công thức này ta dùng PP quy nạp

Với n=1 và n=2 (1) luôn đúng

Giả sử n=k thì (1) đúng khi đó

\(A=\left(1+2+3+...+k\right)^2=\left[\frac{k\left(1+k\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(k+k^2\right)^2}{4}\)

Ta cần c/m với n=k+1 thì (1) cũng đúng

Với n=k+1

\(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\right]^2=\)

\(=\left\{\frac{\left(k+1\right)\left[1+\left(k+1\right)\right]}{2}\right\}^2=\left\{\frac{\left[\left(k+1\right)+\left(k+1\right)^2\right]}{2}\right\}^2=\)

\(=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\) (*)

Mà 

\(1^3+2^3+3^3+...+k+\left(k+1\right)=\left[\left(1^3+2^3+3^3+...+k^3\right)+\left(k+1\right)^3\right]=\)

\(=\frac{\left(k+k^2\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\) (**)

Ta cần chứng minh (*)=(**) tức là

\(\frac{\left(k+k^2\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)}{4}\)

\(\Rightarrow\left(k+k^2\right)^2-\left(k^2+3k+2\right)=-4\left(k+1\right)^3\)

\(VT=\left[\left(k+k^2\right)-\left(k^2+3k+2\right)\right]\left[\left(k+k^2\right)+\left(k^2+3k+2\right)\right]=\)

\(=-\left(2k+2\right)\left(2k^2+4k+2\right)=-4\left(k+1\right)\left(k+1\right)^2=-4\left(k+1\right)^3=VP\)

Vậy theo nguyên lý của PP quy nạp (1) đúng

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(1+n\right)}{2}\right]^2\)

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Bạn áp dụng công thức

\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)