Question

[Phạm Dương Ngọc Nhi]

Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau
1,\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\),với a,b,c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi.
2,\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\),với \(a\ge1,b\ge1\)
3,Tìm giá trị nhỏ nhất.
a,\(A=x+\frac{1}{x-1}\) ,với x > 1.
b, \(B=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}\),với x,y > 0 và \(x+y=\frac{5}{4}\)
4, \(C=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)với a,b > 0 và \(a+b\le1\)
5,\(D=a^3+b^3+c^3\) với a,b,c > 0 và \(ab+bc+ca=3\)

Answer 1

[Nguyễn Hoàng]

3. a) \(A=x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=3\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=2\)

Min \(A=3\Leftrightarrow x=2\)

b) \(B=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{4}{x}+4x+\frac{1}{4y}+4y\cdot-4\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{4}{x}\cdot4x}+2\sqrt{\frac{1}{4y}\cdot4y}-4\cdot\frac{5}{4}=5\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{4}{x}=4x\\\frac{1}{4y}=4y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Min \(B=5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

4. Chắc đề là tìm min???

\(C=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}\)

\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{a+b}}+\frac{3}{1}=5\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=\frac{1}{a+b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Min \(C=5\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Nguyễn Hoàng]

1. Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\right)+\left(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)+\left(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\right)\)

\(\ge\frac{4}{2p-a-b}+\frac{4}{2p-b-c}+\frac{4}{2p-a-c}\) \(=\frac{4}{c}+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

2. Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\) . Dấu "=" \(\Leftrightarrow b-1=1\Leftrightarrow b=2\)

+ Tương tự : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=2\)

Do đó: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=2\)