Question

[TAK Gaming]

cho 3 số thực a,b,c đôi một phân biệt,thỏa mãn \(\frac{a}{1+ab}\) =\(\frac{b}{1+bc}\)=\(\frac{c}{1+ca}\)
Tính giá trị của M=a.b.c
Ai giúp mình với.

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Có: \(\frac{a}{1+ab}=\frac{b}{1+bc}=\frac{c}{1+ac}\)

Vì a, b, c đôi một khác nhau nên suy ra a, b, c khác 0.

=> \(\frac{1+ab}{a}=\frac{1+bc}{b}=\frac{1+ac}{c}\)

=> \(\frac{1}{a}+b=\frac{1}{b}+c=\frac{1}{c}+a\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+b=\frac{1}{b}+c\\\frac{1}{b}+c=\frac{1}{c}+a\\\frac{1}{c}+a=\frac{1}{a}+b\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}\frac{b-a}{ab}=c-b\\\frac{c-b}{bc}=a-c\\\frac{a-c}{ac}=b-a\end{cases}}\)

Nhân vế theo vế ta có: \(\frac{\left(b-a\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)}{ab.bc.ac}=\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\)

=> \(\frac{1}{a^2b^2c^2}=1\)

=> \(\left(abc\right)^2=1\)

=> \(M=abc=\pm1\)