tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=\sqrt{m}\\\sqrt{y+1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
18 tháng 12 2020
ĐK: \(x,y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y-\sqrt{xy}\right)=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-3\sqrt{xy}=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\\sqrt{xy}=m\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\end{matrix}\right.\left(a,b\ge0\right)\)
\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm phương trình \(t^2-t+m=0\left(1\right)\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm không âm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-4m\ge0\\x_1+x_2\ge0\\x_1x_2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{1}{4}\\1\ge0\\m\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0\le m\le\dfrac{1}{4}\)
24 tháng 5 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5m-1\\-2x+y=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=10m-2\\-2x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(< =>\left\{{}\begin{matrix}5y=10m\\-2x+y=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}y=2m\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\left(1\right)\)
=>\(\sqrt{m-1}+\sqrt{2m}=\sqrt{2}\) (\(m\ge1\))
\(< =>\left(\sqrt{m-1}\right)^2=|\left(\sqrt{2}-\sqrt{2m}\right)^2|\)
<=>\(m-1=\left[\sqrt{2}.\left(1-\sqrt{m}\right)\right]^2< =>m-1=|2.\left(1-\sqrt{m}\right)^2|\)
<=>\(m-1=|2\left(1-2\sqrt{m}+m\right)|=\left|2-4\sqrt{m}+2m\right|\)
với \(\left|2-4\sqrt{m}+2m\right|=2-4\sqrt{m}+2m< =>m\le1\)
ta có pt:
<=>\(m-1-2+4\sqrt{m}-2m=0\)
\(< =>-m+4\sqrt{m}-3=0< =>-\left(m-4\sqrt{m}+3\right)=0\)
<=>\(m-4\sqrt{m}+3=0< =>\left(\sqrt{m}-3\right)\left(\sqrt{m}-1\right)=0\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{m}-3=0\\\sqrt{m}-1=0\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}m=9\left(loai\right)\\m=1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
nếu \(|2-4\sqrt{m}+2m|=-2+4\sqrt{m}-2m< =>m\ge1\)
=>\(-2+4\sqrt{m}-2m=m-1< =>3m-4\sqrt{m}+1=0\)
<=>\(3\left(m-2.\dfrac{2}{3}\sqrt{m}+\dfrac{1}{3}\right)=3\left(m-2.\dfrac{2}{3}\sqrt{m}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}\right)=0\)
<=>\(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}-\dfrac{1}{3}\right)=0\)=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{m}-1=0\\\sqrt{m}-\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}m=1\left(TM\right)\\m=\dfrac{1}{3}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)
vậy m=1 thì pt đã cho có 2 nghiệm (x,y) thỏa mãn
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải: ĐK: $x,y\geq 2$
HPT \(\Rightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}+(\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2})=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y).\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}-\frac{1}{\sqrt{y-2}+\sqrt{x-2}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) (do dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Khi đó: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{m}$
$\Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}=m$
Để hpt có nghiệm thì pt trên có nghiệm
$\Leftrightarrow m\geq \min (2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)})$
$\Leftrightarrow m\geq 2.2-1+2.0=3$
Vậy $m\geq 3$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 12 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}=a\ge0\\\sqrt{x+y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y=\dfrac{a^2-4b^2}{3}\)
Hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=6\\b+\dfrac{a^2-4b^2}{3}=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6-a+\dfrac{a^2-4\left(6-a\right)^2}{3}=m\)
\(\Leftrightarrow-a^2+15a-42=m\)
Với \(0\le a\le6\Rightarrow-42\le-a^2+15a-42\le12\)
\(\Rightarrow-42\le m\le12\)
H
12 tháng 4 2021
ĐKXĐ : \(0\le x,y\le1\)
Ta có :
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=m+1;\sqrt{y}+\sqrt{1-x}=m+1\\ \Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y}+\sqrt{1-x}\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\)
\(TH1:\ 1\ge x>y\ge0\Rightarrow\sqrt{x}>\sqrt{y};\sqrt{1-x}< \sqrt{1-y}\\ \Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}>0;\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}< 0\\ \Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}>\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\left(VL\right)\)
\(TH2:\ 1\ge y>x\ge0. Tương\ tự:vôlý\)
TH3: x=y. Khi đó hệ phương trình trở thành
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m+1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A+B}\le\sqrt{A}+\sqrt{B}\le\sqrt{2\left(A+B\right)}\) ta có:
\(1\le m+1\le\sqrt{2}\Leftrightarrow0\le m\le\sqrt{2}-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 12 2020
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\y\ge-3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{y+3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2+b^2-3=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(m-a\right)^2=2m\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-2m=0\) (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm không âm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\\a_1+a_2=m\ge0\\a_1a_2=\dfrac{m^2-2m}{2}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le4\\m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\2\le m\le4\end{matrix}\right.\)
Thử thôi chứ chả bt đúng hay sai
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x,y\ge2\\m\ge0\end{matrix}\right.\)
\(hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1+y-2+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y-2\right)}=m\\y+1+x-2+2\sqrt{\left(y+1\right)\left(x-2\right)}=m\end{matrix}\right.\)
Lấy trên trừ dưới
\(2\sqrt{\left(x+1\right)\left(y-2\right)}=2\sqrt{\left(y+1\right)\left(x-2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(x-2\right)=\left(x+1\right)\left(y-2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x=3y\Leftrightarrow x=y\)
Vậy vs \(m\ge0\) pt có nghiệm thoả mãn đkxđ