Cho phương trình (m2-m+1)x2-(m2+m+1)x-1=0
a) Tìm GTNN của P=x1x2
b) Tìm GTLN và GTNN của S=x1+x2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 4 2022
a) Xét pt đã cho có \(a=m^2+m+1\); \(b=-\left(m^2+2m+2\right)\); \(c=-1\)
Nhận thấy rằng \(ac=\left(m^2+m+1\right)\left(-1\right)=-\left(m^2+m+1\right)\)
\(=-\left(m^2+2m.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)=-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\)
Vì \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\) và \(-\dfrac{3}{4}< 0\) nên \(-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< 0\) hay \(ac< 0\). Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu.
b) Theo câu a, ta đã chứng minh được pt đã cho luôn có 2 nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\).
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-\left(m^2+2m+2\right)}{m^2+m+1}=\dfrac{m^2+2m+2}{m^2+m+1}\)
Nhận thấy \(m^2+m+1\ne0\) nên ta có:
\(\left(m^2+m+1\right)S=m^2+2m+2\) \(\Leftrightarrow Sm^2+Sm+S-m^2-2m-2=0\)\(\Leftrightarrow\left(S-1\right)m^2+\left(S-2\right)m+\left(S-2\right)=0\)(*)
pt (*) có \(\Delta=\left(S-2\right)^2-4\left(S-1\right)\left(S-2\right)\)\(=S^2-4S+4-4\left(S^2-3S+2\right)\)\(=S^2-4S+4-4S^2+12S-8\)\(=-3S^2+8S-4\)
Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) hay \(-3S^2+8S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S^2+6S+2S-4\ge0\)\(\Leftrightarrow-3S\left(S-2\right)+2\left(S-2\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(S-2\right)\left(2-3S\right)\ge0\)
Ta xét 2 trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\ge0\\2-3S\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\ge2\\S\le\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}S-2\le0\\2-3S\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S\le2\\S\ge\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\le S\le2\) (nhận)
Khi \(S=\dfrac{2}{3}\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}-1\right)m^2+\left(\dfrac{2}{3}-2\right)m+\dfrac{2}{3}-2=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}m^2-\dfrac{4}{3}m-\dfrac{4}{3}=0\)\(\Leftrightarrow m^2+4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow m+2=0\) \(\Leftrightarrow m=-2\)
Khi \(S=2\) thì (*) \(\Leftrightarrow\left(2-1\right)m^2+\left(2-2\right)m+2-2=0\)\(\Leftrightarrow m^2=0\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
Vậy GTNN của S là \(\dfrac{2}{3}\) khi \(m=-2\) và GTLN của S là \(2\) khi \(m=0\)
6 tháng 4 2023
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-m+1\right)\)
=4m^2-4m^2+4m-4=4m-4
Để (1) có 2 nghiệm thì 4m-4>=0
=>m>=1
12 tháng 12 2021
Bài 1:
\(c,\text{PT có 2 }n_0\text{ phân biệt }\Leftrightarrow\Delta'=2^2-2m>0\Leftrightarrow2m< 4\Leftrightarrow m< 2\)
2 tháng 4 2021
a) Thay m=1 vào phương trình, ta được:
\(x^2-2x+1+1^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\)
hay x=1
Vậy: Khi m=1 thì tập nghiệm của phương trình là S={1}
4 tháng 3 2022
a,để pt có nghiệm kép
\(\Delta=m^2-\left(m^2-m+1\right)=m-1=0\Leftrightarrow m=1\)
\(x_1=x_2=\dfrac{2m}{2}=m=1\)
b, để pt có nghiệm \(m\ge1\)
c, Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=6\)
Thay vào ta đc \(4m^2-4\left(m^2-m+1\right)=6\)
\(\Leftrightarrow4m=10\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}\left(tm\right)\)
TA
25 tháng 5 2021
Viet: `x_1+x_2=2m+2`
`x_1x_2=m^2+m-1`
Có: `1/(x_1^2)+1/(x_2^2)`
`=(x_1^2+x_2^2)/(x_1^2 x_2^2)`
`=( (x_1+x_2)^2-2x_1x_2)/(x_1^2 x_2^2)`
`=((2m+2)^2-2(m^2+m-1))/((m^2+m-1)^2)`
`=(2m^2+6m+6)/(m^4+2m^3−m^2−2m+1)`
TA
22 tháng 7 2021
a. PT có 2 nghiệm phân biệt dương `<=> {(\Delta'=(m+1)^2-m^2>0),(S=2m+2>0),(P=m^2>0):} <=> {(m>-1/2),(m>-1),(forall m \ne 0):} <=> m>-1/2`
b. Viet: `{(x_1+x_2=2m+2),(x_1x_2=m^2):}`
Theo đề: `(x_1-m)+x_2=3m`
`<=> x_1-m+x_2=3m`
`<=>x_1+x_2=4m`
`<=> 2m+2=4m`
`<=>m=1` (TM)
Vậy `m=1`.
NA
Ngoc Anh Thai
Giáo viên
12 tháng 5 2021
Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)
Khi đó phương trình ban đầu tương đương với pt\(t^2-2\left(m+2\right)t+m^2-2m+3=0\) (*)
Để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm dương phân biệt ⇔
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2-m^2+2m-3>0\\2\left(m+2\right)>0\\m^2-2m+3>0\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}6m+1>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{6}\\m>-2\end{matrix}\right.\)
⇔ \(m>-\dfrac{1}{6}.\)
Giả sử (*) có hai nghiệm là t1, t2. Khi đó theo Viet ta có t1.t2 = m2 - 2m + 3.
Ta có: x1.x2.x3.x4 = t1.t2 = m2 - 2m +3.
Ta có E = m2 - 2m + 3 = (m - 1)2 + 2 ≥ 2.
Min E = 2. Dấu bằng xảy ra khi m = 1.
Xét \(\Delta=\left(m^2+m+1\right)^2+4\left(m^2-m+1\right)>0\)
=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m^2+m+1}{m^2-m+1}\\x_1x_2=\frac{-1}{m^2-m+1}\end{cases}}\)
a, \(P=\frac{-1}{m^2-m+1}=\frac{-1}{\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge\frac{-1}{\frac{3}{4}}=\frac{-4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{1}{2}\)
b,Tìm GTNN : lấy S trừ 2