K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Y
24 tháng 5 2019

Gọi a là cạnh hình vuông ABCD

\(P=AM^2+BM^2+BN^2+CN^2+CP^2+DP^2+DQ^2+AQ^2\)

\(\ge\frac{\left(AM+BM\right)^2}{2}+\frac{\left(BN+CN\right)^2}{2}+\frac{\left(CP+DP\right)^2}{2}+\frac{\left(AQ+DQ\right)^2}{2}\)

( do \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) )

\(=4\cdot\frac{a^2}{2}=2a^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=BM\\BN=CN\\CP=DP\\AQ=DQ\end{matrix}\right.\)

<=> M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

Vậy \(P_{min}=2a^2\) <=> M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

\(P\le\left(AM+BM\right)^2+\left(BN+CN\right)^2+\left(CP+DP\right)^2+\left(DQ+AQ\right)^2\)\(=4a^2\)

Dấu "=" xảy ra \(\left\{{}\begin{matrix}2AM\cdot BM=0\\2BN\cdot CN=0\\2CP\cdot DP=0\\2DQ\cdot AQ=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\equiv B\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}N\equiv B\\N\equiv C\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}P\equiv C\\P\equiv D\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}Q\equiv D\\Q\equiv A\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (*)

Vậy Max P = 4a^2 <=> (*)

1: Xét ΔABC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔADC có DP/DC=DQ/DA

nên QP//AC và QP/AC=DP/DC=1/2

=>QP=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

Xét ΔABD có AM/AB=AQ/AD=1/2

nên MQ/BD=AM/AB=1/2

=>MQ=1/2BD

Xét ΔCBD có CP/CD=CN/CB=1/2

nên NP=1/2BD

=>MQ=NP=1/2BD

mà BD=AC

nên MQ=NP=QP=MN

2: Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

MN=MQ

=>MNPQ là hình thoi

25 tháng 7 2023

cảm ơn bạn nhiều nha 

28 tháng 11 2017

Ta có MNPQ là hình chữ nhật tâm O => M,N,P,Q cùng thuộc (O;OM)

22 tháng 2 2018

A M B D Q N C P

a) \(\Delta ABC\)có : 

MA = MB ( gt )

NB = NC ( gt )

=> MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

=> \(MN//AC\)\(;\)\(MN=\frac{1}{2}AC\)

CMTT : \(PQ//AC\)\(;\)\(PQ=\frac{1}{2}AC\)

=> MN // PQ ; MN = PQ .

=> Tứ giác MNPQ là hình bình hành .

b) Theo câu a) , Ta có : 

MQ // BD và \(MQ=\frac{1}{2}BD\) ; NP // BD và \(NP=\frac{1}{2}BD\)

+) Hình bình hành MNPQ là hình thoi 

=> MN = MQ <=> AC = BD ( Vì \(MN=\frac{1}{2}AC\)\(MQ=\frac{1}{2}BD\)

=> ABCD là hình thang cân .

+) Hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật 

\(\Rightarrow\) \(\widehat{NMQ}=90^0\)\(\Leftrightarrow\)\(MN\perp MQ\)\(\Leftrightarrow\)\(AC\perp BD\)( Vì MN // AC ; MQ // BD ) 

=> Hình thang thang ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau .

+) Hình bình hành MNPQ là hình vuông 

\(\Rightarrow\)\(MN=MQ\)\(;\)\(\widehat{NMQ}=90^0\) \(\Leftrightarrow\)\(AC=BC\)và \(AC\perp BD\)

=> ABCD là hình thang cân có 2 đường chéo vuông góc với nhau . 

27 tháng 10 2021

a: Xét tứ giác ABPD có 

AB//PD

AB=PD

Do đó: ABPD là hình bình hành

Xét ΔABD có 

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

Do đó: MQ là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: MQ//BD và \(MQ=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

Do đó: NP là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: NP//BD và \(NP=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//NP và MQ=NP

hay MQPN là hình bình hành

28 tháng 10 2021

Cám ơn