Chứng minh rằng biểu thức sau không âm\(\forall\)x,y,z.
M=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2
Giúp mình mới
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
A = ( -x + y - z) - ( y - x ) - ( x- z )
A = -x + y - z - y + x - x + z
A = ( -x + x ) + ( y - y ) - ( z - z )
A = 0 + 0 - 0 = 0
=> ĐPCM
Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương
K ĐÚNG CHO MIK ĐÓ NHA MẤY CẬU !
Lời giải:
Ta có:
$A> \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1(1)$
Mặt khác:
$\frac{x}{x+y}-\frac{x+z}{x+y+z}=\frac{-yz}{(x+y)(x+y+z)}<0$ với mọi $x,y,z$ nguyên dương.
$\Rightarrow \frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}$
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{y}{y+z}< \frac{x+y}{x+y+z}$
$\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{z+y+x}$
Cộng các BĐT trên lại ta có:
$A< \frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{x+y+z}+\frac{z+x}{x+y+z}=2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow 1< A< 2$ nên $A$ không thể có giá trị nguyên.
Ta có :
\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)
\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{y+z+t}< \frac{y+x}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{z+t+x}< \frac{z+y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{t+x+y}< \frac{t+z}{x+y+z+t}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow1< M< 2\)
Do đó M ko nhận giá trị nguyên
Bài 3:
\(B=x^4-4x^3-2x^2+12x+9=\left(x^4+x^3\right)-\left(5x^3+5x^2\right)+\left(3x^2+3x\right)+\left(9x+9\right)=\left(x^3-5x^2+3x+9\right)\left(x+1\right)=\left[\left(x^3+x^2\right)-\left(6x^2+6x\right)+\left(9x+9\right)\right]\left(x+1\right)=\left(x^2-6x+9\right)\left(x+1\right)^2=\left(x-3\right)^2\left(x+1\right)^2=\left[\left(x-3\right)\left(x+1\right)\right]^2\)
Bài 3:
\(B=x^4-4x^3-2x^2+12x+9\)
\(=x^4-3x^3-x^3+3x^2-5x^2+15x-3x+9\)
\(=\left(x-3\right)\left(x^3-x^2-5x-3\right)\)
\(=\left(x-3\right)\left(x^3-3x^2+2x^2-6x+x-3\right)\)
\(=\left(x-3\right)^2\cdot\left(x+1\right)^2\)
\(=\left(x^2-2x-3\right)^2\)
\(\dfrac{x}{x+y+z}=\dfrac{y}{x+z+t}=\dfrac{z}{y+z+t}=\dfrac{t}{x+z+t}\\ =\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+x+z+y+y+z+t+x+z+t}\)
\(=\dfrac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{3}\\ hayM=\dfrac{1}{3}\)
\(M^{10}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10}=\dfrac{1}{3^{10}}< 2017\)
M=4(x^2+xy+xz)(x^2+xz+xy+yz)+y^2z^2
=4(x^2+xy+xz)^2+4(x^2+xy+xz)*yz+(yz)^2
=(2x^2+2xy+2xz+yz)^2>=0