cho a/b=b/c =c/d=d/e CMR : a4+b4+c4+d4/b4+c4+d4+e4=a/e
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
27 tháng 1 2022
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc\)
Tương tự ta cũng có:
\(b^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{b^4.b^4.c^4.d^4}=4b^2cd\)
\(c^4+c^4+d^4+a^4\ge4\sqrt[4]{c^4.c^4.d^4.a^4}=4c^2da\)
\(d^4+d^4+a^4+b^4\ge4\sqrt[4]{d^4.d^4.a^4.b^4}=4d^2ab\)
Cộng theo vế các BĐT trên, ta được:
\(4\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra.....
Thường là đề trên cho thêm dữ kiện a,b,c,d\(\ge0\), hoặc bạn có thể dùng dấu GTTĐ( Cũng làm như trên , nhưng áp dụngthêm \(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|\ge a\\\left|b\right|\ge b\end{matrix}\right.\))
NA
0
K
0
LN
1
H
0
13 tháng 12 2023
\(a,b,c>0;abc=1000\)
\(P=\sum\dfrac{a}{b^4+c^4+1000a}\le\sum\dfrac{a}{bc\left(b^2+c^2\right)+a^2bc}=\sum\dfrac{a^2}{abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{1000\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{1000}\)
P đạt GTLN là 1/1000 khi \(a=b=c=10\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^4=\left(\frac{b}{c}\right)^4=\left(\frac{c}{d}\right)^4=\left(\frac{d}{e}\right)^4\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\left(1\right)\)
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^4=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{e}=\frac{a}{e}\Leftrightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{a}{e}\left(2\right)\)
Từ (1) Và (2) \(\Rightarrow\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}=\frac{a}{e}\left(đpcm\right)\)