Question

[Kan]

giúp iem với ạ :<

Answer 1

[ミ★Zero ❄ ( Hoàng Nhật )]

a,

Áp dụng BĐT Cô Si ta có :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=6\)

Ta có BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc BĐT Bunhiacopxki )

Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{a+b+c}{3}.\left(a+b+c\right)\ge\frac{6}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)\)

b, 

\(a^3+a^3+8\ge3\sqrt[3]{8.a^3.a^3}=6a^2\)hay \(2a^3+8\ge6a^2\)

Tương tự ta có : \(2b^3+8\ge6b^2\)

\(2c^3+8\ge6c^2\)

Cộng các vế ta có :

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+24\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-12\)

Lại có : \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)\ge6\sqrt[3]{a.b.c}=12\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)