Question

[Sakura Sakura]

1:Chứng tỏ rằng:

\(4x-x^2-5\) <0 với mọi x

2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a)\(M=x^2+y^2-x+6y+10\)

b)\(Q=2x^2-6x\)

Answer 1

[Huyền Anh Kute]

Bài 1:

Ta có: \(4x-x^2-5\)

\(=-x^2+4x-5=-x^2+4x-4-1\)

\(=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\)

Vì \(-\left(x-2\right)^2< 0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1< 0\forall x\)

\(\Rightarrow4x-x^2-5< 0\forall x\)

Answer 2

[Thiên Hàn]

Bài 1:

\(4x-x^2-5\)

\(=-\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=-\left(x^2-2.x.2+4+1\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2-1\)

Vì \(-\left(x-2\right)^2\le0\) với mọi x

\(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)

\(\Rightarrow4x-x^2-5< 0\) với mọi x

Bài 2:

a) \(M=x^2+y^2-x+6y+10\)

\(M=x^2-2.x\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+y^2+2.y.3+9-9+10\)

\(M=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\left(y+3\right)^2\ge0\) với mọi y

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\) với mọi x và y

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow Mmin=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=-3\end{matrix}\right.\)

b) \(Q=2x^2-6x\)

\(Q=2\left(x^2-3x\right)\)

\(Q=2\left(x^2-2.x\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{4}\right)\)

\(Q=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}\)

Vì \(2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}\ge-\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow Qmin=-\dfrac{9}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\)