K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 3 2018

áp dụng BĐT Cô si :

+ cho cặp số a,b ta được \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\right)\)

+ cho cặp số \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ta được \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\left(2\right)\)

Nhân hai vế với \(\left(1\right),\left(2\right)\) ta được :\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\) (đpcm)

9 tháng 5 2017

oaa cha cha :V mới đọc BĐT kiểu dạng này xong :P

Mình sẽ giải theo hai cách nhé :P

C1 : Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz dạng engel :

\(\dfrac{a^2_1+a^2_2+...+a^2_n}{b_1+b_2+...+b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\) Ta có :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{ab}\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}\)

C2 : Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(a+b\ge2ab\) ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(=1+1+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2+2\sqrt{1}=4\left(ĐPCM\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b.

9 tháng 5 2017

vì a,b>0, áp dụng bđt cô si ta có

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)

nhân với nhau ta có

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

DD
26 tháng 5 2022

Ta có: 

\(4\le\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\le\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+1}{2}+\dfrac{b+1}{2}+1\)

\(=a+b+2\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b}=a+b\ge2\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=1\).

 

\(=\dfrac{\sqrt{ab}-b-\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

23 tháng 4 2018

Áp dụng BĐT Cô - si : x + y ≥ \(2\sqrt{xy}\) ( x > 0 ; y > 0)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)\(\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\) ( a > 0 ; b > 0 )

⇒ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)\(\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\).\(2\sqrt{ab}\)

⇒ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 4

23 tháng 4 2018

Xét hiệu:

\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-4=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1-4\)

\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)

Suy ra: \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

2 tháng 2 2018

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

=> (a+b).\(\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b}=4\left(dpcm\right)\)

b)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)

=>\(\left(a+b+c\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}=9\left(dpcm\right)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 1 2022

Lời giải:

Bổ sung điều kiện $a,b$ là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$

$\Rightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$

Ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

7 tháng 12 2017

Bài 1:

dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .

Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)

Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)

\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf

7 tháng 12 2017

Làm sao có thể dự đoán được dấu "=" trong bài này vậy ạ ?

15 tháng 3 2021

I. Đúng do BĐT Cosi \(a+\dfrac{9}{a}\ge2.\sqrt{a.\dfrac{9}{a}}=6\)

II. Sai do \(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+4}}\ge2+\dfrac{1}{a^2+4}>2\)

III. Đúng do BĐT Cosi \(\dfrac{\sqrt{ab}}{ab+1}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2}\)

IV. Đúng do BĐT BSC \(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2=4\)

2 tháng 12 2017

Viết gọn lại, ta cần chứng minh:
\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum4\left(\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{ab}}\right)=\sum\dfrac{4ab}{a+b}\)

Thật vậy, ta có:

\(\sum\left(a+b+\dfrac{1}{4}\right)^2\ge\sum\left(2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{1}{4}}\right)^2=\sum a+b\)

Vậy ta cần chứng minh:

\(\sum a+b\ge\sum\dfrac{4ab}{a+b}\Leftrightarrow\sum\left(a+b\right)^2\ge\sum4ab\Leftrightarrow\sum\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c