Tìm các số nguyên x sao cho \(x^3-3x^2+x+2\) là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
0
BM
1
BC
0
PT
0
VD
1
NH
2
CG
2
20 tháng 8 2020
Đặt x2 + 3x + 10 = k2 (k thuộc Z)
<=> 4x2 + 12x + 40 = 4k2
<=> (4x2 + 12x + 9) + 31 = 4k2
<=> (2x + 3)2 + 31 = 4k2
<=> 4k2 - (2x + 3)2 = 31
<=> (2k - 2x - 3)(2k + 2x + 3) = 31 = 1.31
Xét các TH xảy ra:
+) \(\hept{\begin{cases}2k-2x-3=1\\2k+2x+3=31\end{cases}}\)
+) \(\hept{\begin{cases}2k-2x-3=-1\\2k+2x+3=-31\end{cases}}\)
(Tự tính)
UI
20 tháng 8 2020
Dat \(A=a^2\Rightarrow4x^2+12x+40=\left(2a\right)^2\) \(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2+31=\left(2a\right)^2\Leftrightarrow\left(2a-2x-3\right)\left(2a+2x+3\right)=31\)
ma 31 nguyen to nen ban co the tu lam tiep o day :)
P/s do muon roi nen mik lam hoi nhanh , mong ban thong cam
PQ
0
Lời giải:
Ta có:
\(A=x^3-3x^2+x+2=x^2(x-2)-x(x-2)-(x-2)\)
\(A=(x-2)(x^2-x-1)\)
Xét TH \(x^2-x-1<0\Leftrightarrow 4x^2-4x-4<0\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5<0\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)^2<5<9\)
\(\Leftrightarrow -3< 2x-1< 3\Leftrightarrow -1< x< 2\)
Thử \(x=0; 1\) có \(x=1\) thỏa mãn.
Xét TH \(x^2-x-1\geq 0\Rightarrow x-2\geq 0\)
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất giữa \((x-2, x^2-x-1)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\vdots d\rightarrow (x-2)(x+1)\vdots d\\ x^2-x-1\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (x^2-x-2)-(x^2-x-1)\vdots d\)
\(\Leftrightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)
Do đó $x-2, x^2-x-1$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để A là số chính phương thì bản thân $x-2$ và $x^2-x-1$ là số chính phương
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x-2=a^2\\ x^2-x-1=b^2\end{matrix}\right.\)
Xét \(x^2-x-1=b^2\) với \(b\in\mathbb{Z}\). Ta có thể coi \(b\geq 0\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x-4=(2b)^2\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5=(2b)^2\)
\(\Leftrightarrow 5=(2x-1-2b)(2x-1+2b)\)
Vì \(2x-1-2b\leq 2x-1+2b\) nên xét các TH sau:
TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=1\\ 2x-1+2b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=6\Rightarrow x=2\) (thỏa mãn)
TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=-5\\ 2x-1+2b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=-6\Rightarrow x=-1\) (vô lý vì \(x-2\geq 0\) )
Vậy \(x\in\left\{1; 2\right\}\)