a^2+b^2+c^2+3=2(a+b+c). CM:a=b=c=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NA
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
29 tháng 5 2021
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+3abc\)
\(=ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c+3abc\)
\(=ab^2+a^2b+abc+ac^2+a^2c+abc+b^2c+bc^2+abc\)
\(=ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a+b+c\)
Y
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)
Ta sẽ cm \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{[3+2(ab+bc+ac)]^3}\geq 9(ab+bc+ac)\)
Đặt \(\sqrt{3+2(ab+bc+ac)}=t\) thì dễ thấy $0< t\leq 3$
Khi đó:
\((a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\Leftrightarrow t^3\geq 9.\frac{t^2-3}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2t^3-9t^2+27\geq 0\)
$\Leftrightarrow (t-3)^2(2t+3)\geq 0$. Luôn đúng với mọi $t>0$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=' xảy ra khi $a=b=c=1$
21 tháng 4 2019
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
21 tháng 4 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
IM
15 tháng 9 2016
Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé
BD
15 tháng 9 2016
bài 1 :
Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2
--> a + b + c = 2
Trong 1 tam giác thì ta có:
a < b + c
--> a + a < a + b + c
--> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1, c < 1
Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2
--> đpcm
V
8 tháng 5 2019
\(a^3-b^3=\left(a-b\right).\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3-b^3=a^3-b^3\)
\(\Rightarrow\)\(đpcm\)
LN
0
19 tháng 8 2016
Ta có: b2 = ac
a2 + b2/b2 + c2
= a2 + ac/ac + c2
= a.(a+c)/c.(a+c)
= a/c ( đpcm)
20 tháng 8 2016
Theo đề ra ta có \(b^2=ac\)
\(a^2+\frac{b^2}{b^2}+c^2\)
\(=a^2+\frac{ac}{ac}+c^2\)
\(=a.\frac{\left(a+c\right)}{c}.\left(a+c\right)\)
Từ đó suy ra \(a^2+\frac{b^2}{b^2}+c^2=\frac{a}{c}\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!