Question

[Đức Minh]

Câu hỏi hay về hình học, bạn nào giải và vẽ hình chính xác mình tặng 10 GP.

Đề bài như sau :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm D thuộc cung nhỏ \(\widehat{BC}\). Kẻ đường tròn (O') tiếp xúc với đường tròn (O) tại D. Các đường thẳng AD cắt đường tròn (O') tại P khác D, BD cắt đường tròn (O') tại Q khác D, CD cắt đường tròn (O') tại S khác D.

a) Chứng minh : \(\dfrac{AP}{AD}=\dfrac{BQ}{BD}=\dfrac{CS}{CD}\)

b) Chứng minh : \(AD\cdot BC=AC\cdot BD+AB\cdot CD\)

c) Vẽ các tiếp tuyến AM,BN,CL với đường tròn (O'), M,N,L là các tiếp điểm. Chứng minh : \(AM\cdot BC=AC\cdot BN+AB\cdot CL\)

d) Gọi E là giao điểm của QS và DP.

Chứng minh \(AE\cdot BC< AC\cdot BE+AB\cdot CE\)

Từ các kết quả của câu b và câu d, có thể rút ra nhận xét nào ?

Answer 1

[Hung nguyen]

Bất đẳng thức Ptolemy lên đó tự xem đi.

Answer 2

[Đức Hiếu]

Câu d: (Thao khảo bất đẳng thức Ptoleme)

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm sao cho đồng dạng với . Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:

Suy ra

Mặt khác, và cũng đồng dạng do có

và

Từ đó

Suy ra

Cộng (1) và (2) ta suy ra

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra:

(đpcm)