1.Nếu \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\) thì gtbt \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 11 2021
\(\dfrac{x+y-2017z}{z}=\dfrac{y+z-2017x}{x}=\dfrac{z+x-2017y}{y}\)
<=> \(\dfrac{x+y}{z}-2017=\dfrac{z+y}{x}-2017=\dfrac{z+x}{y}-2017\)
<=> \(\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{z+y}{x}=\dfrac{z+x}{y}\)
đặt x+y+z = t
=> \(\dfrac{t-z}{z}=\dfrac{t-x}{x}=\dfrac{t-y}{y}< =>\dfrac{t}{z}-1=\dfrac{t}{x}-1=\dfrac{t}{y}-1\) \(< =>\dfrac{t}{z}=\dfrac{t}{y}=\dfrac{t}{x}\)
=> x=y=z
ta lại có
\(P=\left(1+\dfrac{y}{x}\right)\left(1+\dfrac{x}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{y}\right)\)
vì x=y=z => P = \(\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
29 tháng 9 2023
`@ x+y+z=1`.
`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)
`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.
`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`
`=1.`
Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.
29 tháng 9 2023
`@ x+y+z=1`.
`<=>` \(\left\{{}\begin{matrix}x=1-y-z\\y=1-z-x\\z=1-x-y\end{matrix}\right.\)
`P=(x+y)^2/(xy+1-x-y).(y+z)^2/(yz-y-z+1).(x+z)^2/(xy-x-y+1)`.
`<=> ((1-z)^2(1-y)^2(1-x)^2)/((1-x)(1-y)(1-y)(1-z)(1-z)(1-x).`
`=1.`
Vậy `P` không phụ thuộc vào giá trị của biến.
12 tháng 5 2022
Ta có: \(x-y-z=0\)
\(\Rightarrow x-y=z\)
\(x-z=y\)
\(y+z=x\)
\(\Rightarrow B=\left(1-\dfrac{z}{x}\right)\left(1-\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\)
\(=\dfrac{x-z}{x}.\dfrac{-\left(y-x\right)}{y}.\dfrac{z+y}{z}\)
\(=\dfrac{y}{x}.-\dfrac{z}{y}.\dfrac{z}{x}=-1\)
\(\Rightarrow B=-1\)
8 tháng 5 2021
* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )
Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)
Chứng minh tương tự khi đó :
\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)
\(\Rightarrow P\le2016\)
Bài này trên diễn đàn có nhiều thực chưa có bài thực sự đúng
\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\) (1)
đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ne0\\x+z\ne0\\y+z\ne0\end{matrix}\right.\) Nếu x+y+z=0\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\x+z=-y\\y+z=-x\end{matrix}\right.\)(*)
Thay (*) vào (1)
\(\dfrac{x}{-x}+\dfrac{y}{-y}+\dfrac{z}{-z}=-3\) kết luận: \(x+y+z\ne0\)
Nhân 2 vế (1) với x+y+z khác 0 ta có\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\right)+\left(y+z\right).\dfrac{y}{x+z}+\left(x+y\right).\dfrac{z}{x+y}+\left(x+z\right)\dfrac{x}{y+z}=\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\right)+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)
Vẫn lỗi:
\(.....\\ \left(x+z\right)\dfrac{x}{y+z}+\left(z+x\right)\dfrac{y}{z+x}+\left(x+y\right)\dfrac{z}{x+y}\)
....