Với a , b ,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác . CMR : 4a2b2 > (a2+b2-c2)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
8 tháng 7 2017
a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0
Ta có: (b – c)2 < a2
⇔ a2 – (b – c)2 > 0
⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0
⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).
Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)
b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :
( a – b)2 < c2 (2)
(c – a)2 < b2 (3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2
⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2
⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 4 2021
** Lần sau bạn lưu ý viết đề bằng công thức toán (hộp công thức nằm ở nút biểu tượng $\sum$ bên trái khung soạn thảo)
Lời giải:
a) Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
$c< a+b\Rightarrow c^2< c(a+b)$
$b< a+c\Rightarrow b^2< b(a+c)$
$a<b+c\Rightarrow a^2< a(b+c)$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< c(a+b)+b(a+c)+a(b+c)$
hay $a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$ (đpcm)
b)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$\text{VT}[a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)]\geq (a+b+c)^2$
$\text{VT}[2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)]\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)}(*)$
Mà theo BĐT Cô-si:
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Do đó:
$2(ab+bc+ac)-(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)$
$\leq (a+b+c)^2-2.\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(a+b+c)^2}{3}(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 4 2021
Lời giải khác của câu b
Đặt $b+c-a=x; a+c-b=y; a+b-c=z$. Theo BĐT tam giác thì $x,y,z>0$
$\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}; a=\frac{y+z}{2}; b=\frac{x+z}{2}$
Bài toán trở thành:
Cho $x,y,z>0$. CMR $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$
Thật vậy:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{8xyz}}=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
CM
1 tháng 6 2017
Xét tam thức f(x) = b2x2 - (b2 + c2 - a2)x + c2 có:
Δ = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
= (b2 + c2 - a2 - 2bc)(b2 + c2 - a2 + 2bc)
= [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]
= (b – c – a)(b – c + a)(b + c + a)(b + c – a).
Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:
b < c + a ⇒ b – c – a < 0
c < a + b ⇒ b – c + a > 0
a < b + c ⇒ b + c – a > 0
a, b, c > 0 ⇒ a + b + c > 0
⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b2 ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).
TD
0
CM
18 tháng 11 2018
Phương trình b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0
Có Δ = (b2 + c2 – a2) – b2c2 = (b2 + c2 – a2 + 2bc)(b2 + c2 – a2 – 2bc)
= [(b + c)2 – a2] [(b – c)2 – a2]
= (b + c + a)(b + c – a)(b – c – a)(b – c + a)
Mà a, b, c là ba cạnh của tam giác nên
a + b + c > 0 b + c − a > 0 b − c − a < 0 b + a − c > 0
Nên Δ < 0 với mọi a, b, c
Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi a, b, c
Đáp án cần chọn là: D
Xét hiệu: (a2 + b2 - c2)2 - 4a2.b2 = (a2 + b2 - c2 - 2ab). (a2 + b2 - c2 + 2ab) = [(a-b)2 - c2 ]. [(a+b)2 - c2]
= (a - b - c).(a - b+ c). (a+ b+ c).(a + b- c) = A
Vì a; b;c là 3 cạnh của tam giá => a+ b > c ; a+ b + c > 0; a < b + c ; a > b - c
=> a + b - c > 0 ; a+ b + c > 0 ; a - b - c < 0 và a - b + c > 0
=> A < 0
=> (a2 + b2 - c2)2 < 4a2.b2
bài làm
Xét hiệu:
(a2 + b2 - c2)2 - 4a2.b2 = (a2 + b2 - c2 - 2ab). (a2 + b2 - c2 + 2ab)
= [(a-b)2 - c2 ]. [(a+b)2 - c2]
= (a - b - c).(a - b+ c). (a+ b+ c).(a + b- c)
= A
Vì a; b;c là 3 cạnh của tam giá
=> a+ b > c ; a+ b + c > 0; a < b + c ; a > b - c
=> a + b - c > 0 ; a+ b + c > 0 ; a - b - c < 0 và a - b + c > 0
=> A < 0
=> (a2 + b2 - c2)2 < 4a2.b2
=>ĐpCm
Hok tốt