CMR: Trong một tứ giác tổng hai đường chéo thì lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
c/m1:
gọi O là giao điểm của 2 đường chéo trong tứ giác , gọi tên của tứ giác đó là tứ giác ABCD:
Trong Δ OAB có :
OA+OB>AB
Trong Δ OBC có :
OB+OC>BC
Trong Δ OAD có :
OD+OA>AD
Trong Δ OCD có :
OC+OD>CD
Ta có 4 bất đẳng thức:
2OB+2OC+2OA+2OD<AB+BC+CD+DA
<=>2BD+2AC>1/2p
<=>BD+AC> 1/2p
Vậy tổng 2 đường chéo trong 1 tứ giác luôn lớn hơn nửa chu vi (đpcm)
p : là nửa chu vi
c/m2:
Vẫn sử dụng tứ giác ABCD
do AC<p và BD<p
<=>AC+BD<2p
vậy tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi của tứ giác(đpcm)
Đúng rồi, có sai chỗ: 2OB+2OC+2OA+2OD<AB+BC+CD+DA
chỗ đó dùng dấu > này chứ.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ∆ OAB, ta có:
OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ∆ OCD, ta có:
OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)
* Trong ∆ ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
* Trong ∆ OBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
* Trong ∆ ABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ ADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
* Trong ∆ ABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ∆ BCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt độ dài a = AB, b = BC, c = CD, d = AD
Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD.
* Trong ΔOAB, ta có:
OA + OB > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
* Trong ΔOCD, ta có:
OC + OD > c (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c hay AC + BD > a + c (*)
* Trong ΔOAD, ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
* Trong ΔOBC, ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
OA + OB + OC + OD > b + d hay AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
* Trong ΔABC, ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ΔADC, ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
* Trong ΔABD, ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
* Trong ΔBCD, ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b) Gọi tứ giác cần chứng minh là ABCD, giao điểm hai đường chéo AC và BD là O
Xét ΔABO có AO+OB>AB
Xét ΔCOD có OC+OD>CD
Xét ΔAOD có OA+OD>AD
Xét ΔBOC có OB+OC>BC
Ta có: AC+BD=AO+OB+OC+OD
\(\Leftrightarrow AC+BD>AB+CD\)
Ta có: AC+BD=AO+OD+OB+OC
\(\Leftrightarrow AC+BD>AD+BC\)
mà AC+BD>AB+CD
nên \(2\left(AC+BD\right)>AB+AD+BC+CD\)
\(\Leftrightarrow AC+BD>\dfrac{AB+AD+BC+CD}{2}\)
Xét ΔABD có BD<AB+AD
Xét ΔCBD có BD<BC+CD
Xét ΔABC có AC<AB+BC
Xét ΔADC có AC<AD+DC
Do đó: BD+BD+AC+AC<2(AB+AD+CD+BC)
\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+AD+CD+BC\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt p = AB + BC + CD + DA
Ta có: OA + OD > AD (1)
OA + OB > AB (2)
OB + OC > BC (3)
OC + OD > CD (4)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3), (4) ta có:
2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
2(AC + BD) > p
AC + BD > p/2 (*)
Mặt khác: Trong ΔABC có AC < AB + BC (5)
Trong ΔACD có AC < AD + CD (6)
Cộng vế theo vế (5) và (6) ta có:
2AC < AB + BC + CD + DA
Tương tự ta cũng có BD < p/2. Suy ra: AC + BC < (p/2) + (p/2)
Hay AC + BD < p (**)
Từ (*) và (**) ta có: (p/2) < AC + BD < p.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm)
giao của AC và BD là O.
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có:
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)
*Theo câu 1 thì AC<p và BD < p => AC + BD < 2p tổng 2 đường chéo nhỏ hơn chu vi (đpcm)
* giao của AC và BD là O.
trong tam giác OAB có OB + OA > AB , trong tam giác OBC có OB + OC > BC
trong tam giác OADcó OD + OA > AD , trong tam giác ODC có OD + OC > DC
cổng 4 bất đẳng thức cùng chiề này lại ta có:
2.OB + 2.OD + 2.OA + 2.OC > AB + BC + CD + DA
<=> 2 BD + 2 AC > 2p <=> BD + AC > p tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử tứ giác đó là ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có : \(AO+OB>AB\) ; \(OB+OC>BC\) ; \(OC+OD>CD\) ; \(OD+OA>AD\)
\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA\)
\(\Leftrightarrow2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+AD\Leftrightarrow AC+BD>\frac{AB+BC+CD+AD}{2}\)
- Theo bất đẳng thức tam giác : \(AB+BC>AC\) ; \(AD+DC>AC\); \(AB+AD>BD\) ;
\(BC+CD>BD\)
\(\Rightarrow AB+BC+AD+DC+AB+AD+BC+CD>AC+AC+BD+BD\)
\(\Leftrightarrow2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\Leftrightarrow AB+BC+CD+DA>AC+BD\)
Dùng bất đẳng thức tam giác bạn ơi