Question

[王俊凯]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD \(\left(H\in AB;K\in AD\right)\).

a/ CM tứ giác AHIK nội tiếp

b/ CM: IA.IC=IB.ID

c/ CMR: tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng

d/ Gọi S là diện tích tam giác ABD, S' là diện tích tam giác HIK. CMR: \(\dfrac{S'}{S}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)

Answer 1

[Phương Ann]

a) Tứ giác AHIK nội tiếp

\(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}=90^0+90^0=180^0\)

\(\Rightarrow\text{AHIK nội tiếp}\)

b) \(IA\times IC=IB\times ID\)

\(\text{Xét }\Delta IAB\text{ và }\Delta IDC\text{ có:}\)

\(\widehat{AIB}=\widehat{DIC}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)

\(\Rightarrow\Delta IAB\sim\Delta IDC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\)

\(\Rightarrow IA\times IC=IB\times ID\)

c) \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\)

\(\widehat{H_2}=\widehat{A_2}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)

\(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{CD}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{H_2}=\widehat{B_2}\) (1)

\(\widehat{K_1}=\widehat{A_1}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{K_1}=\widehat{D_1}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta HKI\sim\Delta BDC\left(g-g\right)\)

d) \(\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)

➤ \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\Rightarrow\dfrac{S_{HKI}}{S_{BDC}}=\dfrac{HK^2}{BD^2}\Rightarrow S_{HKI}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2}\)

➤ \(\text{Đặt }T=\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2\times S_{ABC}}\)

Ta có: \(\dfrac{S_{BDC}}{S_{ABC}}=\dfrac{IC}{IA}\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{HK^2\times IC}{BD^2\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{\left(IB+ID\right)^2\times IA}\)

➤ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

\(\Rightarrow T\le\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IB\times ID\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IA\times IC\times IA}=\dfrac{HK^2}{4IA^2}\left(đpcm\right)\)