Question

[Trần Phương Thảo]

1.

\(\Delta ABC\left(\widehat{A}=90^0\right),AH\perp BC\). E, F thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Đặt BC= 2a( a >0). Chứng minh

a. \(BE^2=\dfrac{BH^3}{BC};CF^2=\dfrac{CH^3}{BC}\)

B. tính giá trị của \(\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}\) theo a

2.

\(\Delta ABC\left(\widehat{A}=90^0\right),AH\perp BC\), đường cao BK. Chứng minh: \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)

3.

\(\Delta ABC\left(\widehat{A}=90^0\right),AH\perp BC\). Chứng minh: \(BC^2=2AH^2+BH^3+CH^3\)

Answer 1

[Phương An]

Câu 2:

Từ B, kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại M.

Từ giả thiết, ta có:

\(\cdot\) AH // BM (do cùng _I_ BC)

\(\cdot\) H là trung điểm của BC (\(\Delta ABC\) cân tại A có AH là đường cao)

Suy ra AH là đường trung bình của \(\Delta BMC\)

\(\Rightarrow BM=2AH\)

Xét \(\Delta BMC\) vuông tại B có BK là đường cao

\(\Rightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BM^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\) (đpcm)

Answer 2

[Phương An]

Câu 1:

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường cao

\(\Rightarrow AB^2=BH\times BC\)

Xét \(\Delta HBA\) vuông tại H có HE là đường cao

\(\Rightarrow BH^2=BE\times AB\)

\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}=\dfrac{BH^4}{BH\times BC}=\dfrac{BH^3}{BC}\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(CF^2=\dfrac{CH^3}{BC}\)

Suy ra \(\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\dfrac{BH}{\sqrt[3]{BC}}+\dfrac{CH}{\sqrt[3]{BC}}=\dfrac{BH+CH}{\sqrt[3]{a}}=\dfrac{a}{\sqrt[3]{a}}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^2\)