Hỏi đáp Phương trình nghiệm nguyên

\(x^3+x^2+x+1=2003^y\)^y

\(\left(x^3+x^2\right)+\left(x+1\right)=2003^y\)

\(x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=2003^y\)

\(\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=2003^y\)

\(\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)=2003^y\)

\(x^4=2003^y\)

Bạn có thể giải thích cho mình sao (x² + 1)(x+1) <=> (x+1)(x-1) <=> x⁴

Ta có \(y^2+y=x^4+x^3+x^2+x\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2=4x^4+4x^3+4x^2+x+1\)

Nếu \(\left(2y+1\right)^2< \left(2x^2+x\right)^2\Rightarrow3x^2+4x+1< 0\Rightarrow\frac{-1}{3}< x< -1\)vô lí

Vậy \(\left(2y+1\right)^2\ge\left(2x^2+x\right)^2\)mặt khác\(\left(2y+1\right)^2< \left(2x^2+x+2\right)^2\)nên theo điều kiện chặn ta sẽ tìm được x;y thỏa mãn

Ta có:

\(y=\frac{x}{x^2+1}\) vì y nguyên => \(x⋮x^2+1\Rightarrow x^2⋮x^2+1\Rightarrow x^2+1-1⋮x^2+1\Rightarrow1⋮x^2+1\)

=> \(x^2+1=\pm1\)

+) x^2 + 1 = 1 => x = 0 => y = 0 

+) x^2 + 1 = - 1 => x^2 = - 2 loại 

Vậy x = y = 0

Xét x=y=0 ( TM )

Xét x và y khác 0 khi đó:

Gọi \(d=gcd\left(x;y\right)\Rightarrow x=db;y=dm;\left(m;b\right)=1\)

Khi đó: \(\left(d^2b^2+1\right)dm=db\Leftrightarrow\left(d^2b^2+1\right)m=b\Rightarrow b⋮m\) mà \(\left(b;m\right)=1\Rightarrow VL\)

Vậy x=y=0

Ta có: \(x^2y^2+x^2+y^2+4xy=73\)

<=>  \(\left(x^2y^2+4xy+4\right)+x^2+y^2=77\)

<=> \(\left(xy+2\right)^2+x^2=77-y^2\) (1)

Do \(\left(xy+2\right)^2+x^2\ge0\) => \(77-y^2\ge\)0 => \(y^2\le77\)

Do y nguyên và y² là số chính phương => y² \(\in\){0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64}

=> \(y\in\left\{0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm5;\pm6;\pm7;\pm8\right\}\)

thay y vào pt (1) ... (tự làm)

Hoặc C2:

\(x^2y^2+x^2+y^2+4xy=73\)

<=> \(\left(x^2y^2+2xy+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)=74\)

<=> \(\left(xy+1\right)^2+\left(x+y\right)^2=74=5^2+7^2\)

Xét các TH xảy ra: 

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=5\\x+y=7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-5\\x+y=7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=5\\x+y=-7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-5\\x+y=-7\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=7\\x+y=5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-7\\x+y=5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=7\\x+y=-5\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}xy+1=-7\\x+y=-5\end{cases}}\)

(Tự tính)

x; y nguyên

pt <=> \(29x^2=2+28y^2⋮2\) mà 29 không chia hết cho 2 => x² chia hết cho 2 => x chia hết cho 2

=> Tồn tại số nguyên k sao cho: x = 2k 

=> \(29.4k^2-28.y^2=2\)

<=> \(1=29.2k^2-14y^2\)chia hết cho 2 

=> Vô lí

=> pt ban đầu vô nghiệm 

Phá tung ra thoi ạ 
\(\Leftrightarrow xy+3y+4x+12=3xy\)

\(\Leftrightarrow4x-2xy-6+3y=-18\)

\(\Leftrightarrow2x\left(2-y\right)-3\left(2-y\right)=-18\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(2-y\right)=-18\)

~~ Lập bảng xét ước là xong :v

Bài làm:

Ta có: \(\left(x+3\right)\left(y+4\right)=3xy\)

\(\Leftrightarrow xy+4x+3y+12-3xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-2xy\right)+\left(6-3y\right)=6\)

\(\Leftrightarrow2x\left(2-y\right)+3\left(2-y\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)\left(2-y\right)=6=6.1=\left(-6\right).\left(-1\right)=2.3=\left(-2\right).\left(-3\right)\)

Mà ta thấy \(2x+3\) lẻ với mọi x nguyên nên ta xét các TH sau:

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=1\\2-y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}}\)

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=-1\\2-y=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=8\end{cases}}\)

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=3\\2-y=2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=-3\\2-y=-2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=4\end{cases}}\)

Vậy ta có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn: ...

Hy vọng bài này giúp được bạn, vào TKHĐ xem nhé

 làm vậy có dài không bạn?

\(x^4-2y^2=1\Leftrightarrow x^4=1+2y^2\)

Do \(\hept{\begin{cases}x^4\ge0\forall x\\2y^2\ge0\forall y\end{cases}}\)

Để x,y nguyên => \(\hept{\begin{cases}x^4=1\\2y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)

x⁴ - 2y² = 1 => x⁴ - 1 = 2y² ( 1 )

Dễ thấy : x lẻ \(x^4\equiv1\) ( mod 4 )

=> y² chẵn => y chẵn

Đặt \(x=2k+1;y=2n\left(k;n\in Z\right)\). Ta có :

\(\left(4k^2+4k+1\right)^2-1=8n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4k^2+4k+2\right)\left(4k^2+4k\right)=8n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k^2+2k+1\right)\left(k^2+k\right)=n^2\)

Với k = 0 thì \(y=0\) ( tm )

Thay y = 0 vào ( 1 ) ta được \(x=\pm1\) ( tm )

Với \(k\ge1\)

Đặt \(k^2+k=m\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)m=n^2\)

=> m ; 2m + 1 là SCP

Ta lại có : \(k^2< k^2+k< \left(k+1\right)^2\) 

Vì k² + k kẹp giữa 2 SCP liên tiếp nên k² + k không thể là SCP

Vậy pt có các nghiệm ( x ; y ) là : ( 1 ; 0 ) ; ( - 1 ; 0 ) 

nếu tất cả x_i chẵn thì x_i⁴ chẵn nên \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chẵn , không thể bằng 2015

nếu có \(x_k\)lẻ \(x_k=2m_k+1,m_k\inℤ,x_k^4=\left(2m_k+1\right)^4=16m_k^3\left(m_k+2\right)+8m_k\left(3m_k+1\right)+1\)

nếu m_k chẵn thì \(8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

m_k lẻ thì \(3m_k+1\)chẵn \(\Rightarrow8m_k\left(3m_k+1\right)⋮16\)

do đó \(x_k^4\)chia cho 16 có số dư là 1

vì vậy \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia cho 16 có số dư tối đa là 8

còn 2015=125.16+15 khi chia 16 có số dư là 15 

vậy không thể xảy ra \(x_1^4+x_2^4+x_3^4+....+x_8^4=2015,x_i\inℤ\)

Với \(x\in Z\)thì: \(x^2\)chia 16 dư 0 hoặc 1. (Tự cm)

\(\Rightarrow x^4=\left(x^2\right)^2:16\)dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow x_1^4+x_2^4+x_3^4+...+x_8^4\)chia 16 sẽ nhận một trong các số dư 0;1;2...;8

Mà \(2015:16\)dư 15\(\Rightarrow\)Phương trình vô nghiệm.

Đề sai đâu đó nhỉ, mình nghĩ là:

\(x^2y^2-xy=x^2+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2=x^2+xy+y^2\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+xy=\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow xy\left(xy+1\right)=\left(x+y\right)^2\)

VP là số chính phương nên VT phải là số chính phương. Bạn hiểu ý mình rồi chứ :D

\(\frac{m+1}{x-1}=1-m\)

\(\Leftrightarrow m+1=\left(1-m\right)\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m+1=x-1-mx+m\)

\(\Leftrightarrow x-mx=2\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-m\right)=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{1-m}\)

Để x dương thì \(\frac{2}{1-m}>0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy m < 1 

cho rùi.

cho mik nha

a, MSC : 24

   5/8 = 5 x 3/ 8 x 3 = 15/24

   7/12 = 7 x 2/ 12 x 2 = 14/24

b, MSC : 60

  17/15 = 17 x 4/ 15 x 4 = 68/ 60

  29/20 = 29 x 3/ 20 x 3 = 87/ 60

c, MSC : 12

   5/6 = 5 x 2/ 6 x 2 = 10/12

   3/4 = 3 x 3/ 4 x 3 = 9/12

d, MSC : 84

   4/7 = 4 x 12/ 7 x 12 = 48/84

   7/12 = 7 x 7/ 12 x 7 = 49/84

cho mik nha!

Mik cảm ơn!

b) chia cả 2 vế cho xyz>0 ta được: \(\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}=3\)

không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\ge1\). Ta có:

\(3=\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}\le\frac{15}{z^3}\Rightarrow z^3\le5\Rightarrow z=1\)

\(z=1\Rightarrow2x+2y+11=3xyz\Rightarrow3=\frac{2}{y}+\frac{2}{x}+\frac{1}{xy}\le\frac{15}{y^2}\Rightarrow y^2\le5\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y^2=1\\y^2=4\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1;x=1\\y=2;x=\frac{15}{4}\end{cases}}}\)

ĐCĐK và kết luận

Vậy (1;1;13);(13;1;1);(1;13;1)