Giúp tôi giải toán và làm văn

Ta có pt đã cho tương đương với:  (x^3)^2+(x^3−y)^2=320
Vì x,y nguyên nên 320 là tổng của 2 số chính phương 
Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là 320=162+82
Mà x^3 là lập phương của 1 số nguyên nên x^3=8, suy ra x=2 hoặc x=-2
+)Với x=2 ta có: 64+(8−y)2=320, suy ra y=24 hoặc y=-8
+)Với x=-2 ta có: 64+(−8−y)2=320, suy ra y=8 hoặc y=-24. 

ta có pt đã cho tương đương với: (x³)²+(x³-y)²=320 (1)

vì x,y nguyên nên 320 là tổng của 2 số chính phương

Mà 320 viết thành tổng của 2 số chính phương chỉ có trường hợp là 320=162+82

mà x³ là lập phương của 1 số nguyên nên x³-8 => x=2

thay x=2 vào (1) ta có : 64+(8-y)²=320 => y=24 hoặc y=-8

đáp án là x=2;y=24 hoặc x=2;y=-8

\(5x^2+9y^2-12xy+8=24\left(2y-x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+x^2+8-24\left(2y-x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+x^2-48y+24x+80=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+\left(32x-48y\right)+64+x^2-8x+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+2.\left(2x-3y\right).8+8^2+\left(x^2-8x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+8\right)^2+\left(x-4\right)^2=0\)

Đến đây dễ rồi bạn tự làm tiếp nhé

AI LÀM NHANH VÀ ĐÚNG MK TÍCH

Bình phương hai vế ta có:

 \(x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^2-x=t\)

Tiếp túc bình phương và chuyển vế, ta có:

\(\sqrt{x+\sqrt{x}}=t^2-x=u\)

\(x+\sqrt{x}=u^2\)

Do y nguyên, x nguyên nên t nguyên, suy ra u nguyên, suy ra u² nguyên, vậy thì \(\sqrt{x}\) nguyên.

Ta có \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=u^2\). Hai số tự nhiên liên tiếp có tích là số chính phương u² nên \(\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0.\)

Từ đó suy ra y = 0.

Vậy nghiệm của phương trình là (x; y) = (0; 0).

\(H=\frac{x\left(x+1\right)}{2}.\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}=x^2\left(x+1\right)^2.\frac{2x+1}{12}\)

tồn tại vô số nguyên dương x để \(\frac{2x+1}{12}\) là số chính phương => ... 

Ta có x² –xy + y² = 3 ⇔ (x- )² = 3 – 

Ta thấy (x- )² = 3 –  ≥ 0

⇒ -2 ≤ y ≤ 2

⇒ y= ± 2; ±1; 0 thay vào phương trình tìm x

Ta được các nghiệm  nguyên của phương trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

\(Pt\Leftrightarrow3x^2+12x+4y^2+3y+5=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x 

Ta có : \(\Delta'=36-12y^2-9y-15\)

                 \(=-12y^2-9y+21\)

Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=-12y^2-9y+21\ge0\)

                     \(\Leftrightarrow-\frac{7}{4}\le y\le1\)

Mà \(y\inℤ\Rightarrow y\in\left\{-1;0;1\right\}\)

Rồi làm nốt

😂 😂 😂 😂

Ý làm lộn. Đừng coi cái trên nha:

Dễ thấy với 2 trong 3 số bằng 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Giả sử 2 số đó là; x = y = 0 thì ta có:

\(z^2=z^2\) vô số nghiệm nguyên.

Vậy bài toán được chứng minh.

Xét \(x,y,z\ne0\)ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}< \left(x+y+z\right)^2\)(loại)

Xét trong 3 số có 2 số khác 0. Giả sử là \(x,y\ne0\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}< \left(x+y\right)^2\)(loại)

Vậy trong 3 số x, y, z phải có ít nhất 2 số bằng 0. Thế vô ta được phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Gỉa sử tồn tại số nguyên p thỏa mãn 

Đặt \(3^p+19\left(p-1\right)=n^2\)( n là 1 số nguyên )

* Nếu p=2,3 . Dễ có ko có số nguyên n nào thỏa mãn 

* Nếu p>3 , p lẻ 

+) p=4k +1

Ta có 

\(3=-1\left(modA\right)\)

nên : \(3^p=-1\left(modA\right)\)

Mà \(19\equiv3\left(modA\right);p-1\equiv0\left(modA\right)\)

Do đó : \(VT\equiv VP\equiv-1\left(modA\right)\)( vô lí )

+) p=4k+3

Theo định lí Fermat ta có 

\(3^p=3\left(modp\right)\)

và \(19\left(p-1\right)\equiv-19\left(modp\right)\)

nên \(VT\equiv-16\left(modp\right)\)

Do đó : \(n^2+16⋮p\)

-> Ta có : \(4⋮b\)( vô lí )

Vậy ta có đpcm 

Chứng minh bằng cách phản chứng

Giả sử tồn tại số nguyên tố p thõa mãn

Đặt 3^p + 19 ( p - 1 ) = n² ( n là một số nguyên )

* Nếu p = 2, 3 dễ thấy không có số số nguyên n nào thõa mãn

* Nếu p > 3 , p lẻ

+ ) p = 4k + 1

Ta có : 3 ≡ - 1 ( mod4 )

nên 3^p ≡ - 1 ( mod4 )

và 19 ≡ 3 ( mod4 ) ; p - 1 ≡ 0 ( mod4 )

Do đó VT  ≡ VP ≡ - 1 ( mod4 ) ( vô lí )

+ ) p = 4k + 3

Theo định lí Fermat ta có :

3^p  ≡ 3 ( modp )

và 19 ( p - 1 ) ≡ - 19 ( modp )

nên VT ≡ - 16 ( modp )

Do đó n² + 16 \(⋮\) p

Từ đề ta có 4 \(⋮\) p ( vô lí vì 4 không có ước dạng 4k + 3 )

Vậy ta có đpcm

Giả sử:

\(3^p+19\left(p-1\right)=x^2\)

Xét \(p=2,3\)

Xét \(p>3\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p=4k+1\\p=4k+3\end{cases}}\)

Với \(p=4k+1\)

\(\Rightarrow3^p+19\left(p-1\right)\equiv3\left(mod4\right)\) vô lý vì số chính phương chia cho 4 không có dư 3.

Với \(p=4k+3\)

\(\Rightarrow3^p+19\left(p-1\right)\equiv3-19\equiv-16\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow x^2+16⋮p\)

\(\Rightarrow4⋮p\)(vô lý vì p > 4)

272`6`54-543564396738

\(x^2-2^y=33\)

<=> \(x^2=33+2^y\)

Vì x nguyên => \(2^y\)là số tự nhiên => y là số tự nhiên 

TH1: y = 2k + 1 ; k thuộc N

=> \(x^2=33+2^{2k+1}\)

=> \(x^2=33+2.4^k\)

Có: \(4\equiv1\left(mod3\right)\)=> \(4^k\equiv1\left(mod3\right)\)=> \(2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

=> \(VP:3\)dư 2

mà VT là số chính phương chia 3 không dư 2

Do đó trường hợp này loại.

TH2: y = 2k ; k thuộc N

=> Ta có pt:

\(x^2-2^{2k}=33\)

<=> \(\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)=33.1=-33.\left(-1\right)=11.3=-11.\left(-3\right)\)

Vì : \(2^k>0\)=> \(x-2^k< x+2^k\)

Xảy ra 4 khả năng:

\(\hept{\begin{cases}x+2^k=33\\x-2^k=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=17\\2^k=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=17\\y=8\end{cases}}}\) thử lại tm

\(\hept{\begin{cases}x+2^k=-1\\x-2^k=-33\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-17\\2^k=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-17\\y=8\end{cases}}}\) thử lại tm

\(\hept{\begin{cases}x+2^k=11\\x-2^k=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\2^k=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}}}\)thử lại tm

\(\hept{\begin{cases}x+2^k=-3\\x-2^k=-11\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-7\\2^k=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-7\\y=4\end{cases}}}\)thử lại tm

Không mất tính tổng quát: g/s: \(x\ge y\). 

=> tồn tại số tự nhiên m sao cho: \(x=y+m\)

phương tình ban đầu trở thành:

\(2^{y+m}+2^y=2^{y+m+y}\)

<=> \(2^m+1=2^m.2^y\)

<=> \(\left(2^m\right)\left(2^y-1\right)=1\)

+) m =0 => y =x =1 thử vào thỏa mãn'

+) m > 0 

Nếu y < 0 => \(2^y-1< 0\)=> \(1=\left(2^m\right)\left(2^y-1\right)< 0\)

Nếu y = 0 => loại

Nếu y >0 . Có:  \(1=2^m\left(2^y-1\right)>2\left(2^y-1\right)\)=> \(2^y-1< \frac{1}{2}\) loại

Vậy  pt chỉ có nghiệm : \(x=y=1.\)

@ Tuấn Đạt@ Sao lại không có nghiệm thỏa mãn. ??
x = 1; y = 1; z = 4. thỏa mãn mà.

\(x^2+15^y=2^z\)(\(z\ge4\))

Do VT chẵn và 15 lẻ nên x lẻ

Khi đó x có dạng 2k+1(\(k\in N\))

\(\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod4\right)\)

TH1:y chẵn \(\Rightarrow15^y\equiv1\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow VT\equiv2\left(mod4\right)\)

\(\Rightarrow2^z\equiv2\left(mod4\right)\).Điều này chỉ xảy ra khi z=1 (nếu z>1 thì 2^z chia hết cho 4)

Mà z>=4 => Loại TH này

\(15⋮3\)\(\Rightarrow x^2\equiv2\left(mod3\right)\)(Vô lí)

Vậy y lẻ.

TH2:Với y lẻ thì \(15^y\equiv-1\left(mod4\right)\)mà \(2^z⋮4\)

\(\Rightarrow x^2\equiv-1\left(mod4\right)\)(Vô lí)

Vậy ko có x,y,z là số nguyên dương thỏa mãn

b/ \(2^x+2^y+2^z=552\)

\(\Leftrightarrow2^x\left(1+2^{y-x}+2^{z-x}\right)=2^3.69\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\1+2^{y-x}+2^{z-x}=69\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\2^y+2^z=544\left(1\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2^y\left(1+2^{z-y}\right)=2^5.17\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=5\\1+2^{z-y}=17\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=5\\z=9\end{cases}}\)

Vậy \(x=3;y=5;z=9\)

a/ Dễ thấy: \(z>x,y\)

Xét \(x>y\)

\(\Rightarrow2^x\left(1+2^{y-x}-2^{z-x}\right)=0\)

Loại vì \(2^x\left(1+2^{y-x}-2^{z-x}\right)< 0\)

Tương tự cho trường hợp \(x< y\)

Xét \(x=y\)

\(2^x+2^y=2^z\)

\(\Leftrightarrow2^{x+1}=2^z\)

\(\Leftrightarrow x+1=z\)

Vậy nghiệm là: \(x=y=z-1\)

hello