Lỗi: Trang web OLM.VN không tải hết được tài nguyên, xem cách sửa tại đây.

Hỏi đáp Toán lớp 9


Đặt số cần tìm là \(\overline{ab},\left(0\le a,b\le9;a,b\inℕ;a\ne0,a+b=8\right)\)

Số sau khi đổi vị trí là \(\overline{ba}\).

Theo bài ra ta có: \(\overline{ab}-\overline{ba}=18\Leftrightarrow10a+b-\left(10b+a\right)=18\Leftrightarrow9a-9b=18\Leftrightarrow a-b=2\)

\(\Rightarrow a-\left(8-a\right)=2\Leftrightarrow2a=10\Leftrightarrow a=5\Rightarrow b=3\)(thỏa) 

Đọc tiếp...

Áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có :

\(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\ge\frac{\left[\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\right]^2}{3}\)(1)

Tiếp tục sử dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có :

\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\ge\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)^2}{3}\)(2)

Đặt  \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4a}}=1\)

=> \(A+\frac{a+b}{4a}+\frac{b+c}{4b}+\frac{c+a}{4c}\ge3\)

=> \(A+\frac{a}{4a}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4b}+\frac{c}{4b}+\frac{c}{4c}+\frac{a}{4c}\ge3\)

=> \(A+\frac{3}{4}+\frac{b}{4a}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}\ge3\)

Theo Cauchy ta có : \(\frac{b}{4a}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}\ge3\sqrt[3]{\frac{b}{4a}\cdot\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}}=\frac{3}{4}\)

=> \(A+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ge3\)=> \(A\ge\frac{3}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) => \(P\ge\frac{3}{16}\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Vậy MinP = 3/16 <=> a = b = c 

Đọc tiếp...

Ta có:

\(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4=\left(\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)^4+\left(\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\right)^4+\left(\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\right)^4\)

Đặt \(\left(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\left(x,y,z>0\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)

Khi đó: \(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^4}+\frac{1}{\left(1+y\right)^4}+\frac{1}{\left(1+z\right)^4}\)

\(\ge3\left[\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\right]^2\)

Ta có: \(\left(1+xy\right)\left(1+\frac{x}{y}\right)\ge\left(1+x\right)^2\Leftrightarrow\left(1+x\right)^2\le\frac{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}{y}\)( Bunyakovsky)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}\ge\frac{y}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}\) ; tương tự: \(\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{x}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\frac{1}{\left(1+z\right)^2}+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\cdot\frac{1}{4}}=\frac{1}{1+z}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+z\right)^2}\ge\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\)

Khi đó: \(P\ge\frac{1}{3}\left[\frac{x}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}+\frac{y}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right]^2\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{3}\left(\frac{xyz}{xyz+xy}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right)^2\)

\(=\frac{1}{3}\left(\frac{z}{1+z}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\right)^2=\frac{3}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c

Vậy Min(P) = 3/16 khi a = b = c

Đọc tiếp...

Bổ đề: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)

1. \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le2\left(a+b\right)=4\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)

2. \(\left(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\right)^2\le2\left(a-1+b-1\right)=2\left(a+b-2\right)=2\left(4-2\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=2\)

3,4,5 tương tự.

Đọc tiếp...

phiền bạn giải hộ luôn mấy bài còn lại nha, mình ngu lắm, sorry vì phiền bn

Đọc tiếp...

Ta có: \(P=\frac{2x^2+7x+23}{x^2+2x+10}\Leftrightarrow P\left(x^2+2x+10\right)=2x^2+7x+23\)

\(\Leftrightarrow Px^2+2Px+10P-2x^2-7x-23=0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-2\right)x^2+\left(2P-7\right)x+\left(10P-23\right)=0\)

\(\Delta=\left(2P-7\right)^2-4\left(P-2\right)\left(10P-23\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4P^2-28P+49-4\left(10P^2-43P+46\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4P^2-28P+49-40P^2+173P-184\ge0\)

\(\Leftrightarrow-36P^2+145P-135\ge0\)

\(\Rightarrow36P^2-145P+135\ge0\)

\(\Leftrightarrow P^2-\frac{145}{36}P+\frac{27}{29}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P^2-2\cdot\frac{145}{72}+\frac{21025}{5184}\right)-\frac{469757}{150336}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(P-\frac{145}{72}\right)^2\ge\frac{469757}{150336}\)

\(\Rightarrow-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\le P-\frac{145}{72}\le\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{145}{72}-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\le P\le\frac{145}{72}+\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)

Vậy \(Min_P=\frac{145}{72}-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\) và \(Max_P=\frac{145}{72}+\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)

Đọc tiếp...

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: \(32\left(a^5+b^5\right)\ge2\left(a+b\right)^5\)

* Xét biểu thức: \(32\left(a^5+b^5\right)-2\left(a+b\right)^5=10\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(3a^2+3b^2+2ab\right)\ge0\forall a,b\inℝ\)do \(3a^2+3b^2+2ab=2a^2+2b^2+\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

Đọc tiếp...

...

Dưới đây là những câu có bài toán hay do Online Math lựa chọn.

....

Toán lớp 10Đố vuiToán có lời vănToán lớp 11Toán đố nhiều ràng buộcToán lớp 12Giải bằng tính ngượcLập luậnLô-gicToán chứng minhChứng minh phản chứngQui nạpNguyên lý DirechletGiả thiết tạmĐo lườngThời gianToán chuyển độngTính tuổiGiải bằng vẽ sơ đồTổng - hiệuTổng - tỉHiệu - tỉTỉ lệ thuậnTỉ lệ nghịchSố tự nhiênSố La MãPhân sốLiên phân sốSố phần trămSố thập phânSố nguyênSố hữu tỉSố vô tỉSố thựcCấu tạo sốTính chất phép tínhTính nhanhTrung bình cộngTỉ lệ thứcChia hết và chia có dưDấu hiệu chia hếtLũy thừaSố chính phươngSố nguyên tốPhân tích thành thừa số nguyên tốƯớc chungBội chungGiá trị tuyệt đốiTập hợpTổ hợpBiểu đồ VenDãy sốHằng đẳng thứcPhân tích thành nhân tửGiai thừaCăn thứcBiểu thức liên hợpRút gọn biểu thứcSố họcXác suấtTìm xPhương trìnhPhương trình nghiệm nguyênPhương trình vô tỉCông thức nghiệm Vi-etLập phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thứcBất phương trìnhBất đẳng thức hình họcĐẳng thức hình họcHàm sốHệ trục tọa độĐồ thị hàm sốHàm bậc haiĐa thứcPhân thức đại sốĐạo hàm - vi phânLớn nhất - nhỏ nhấtHình họcĐường thẳngĐường thẳng song songĐường trung bìnhGócTia phân giácHình trònHình tam giácTam giác bằng nhauTam giác đồng dạngĐịnh lý Ta-letTứ giácTứ giác nội tiếpHình chữ nhậtHình thangHình bình hànhHình thoiHình hộp chữ nhậtHình ba chiềuChu viDiện tíchThể tíchQuĩ tíchLượng giácNgữ văn 10Hệ thức lượngViolympicNgữ văn 11Ngữ văn 12Giải toán bằng máy tính cầm tayToán tiếng AnhGiải tríTập đọcKể chuyệnTập làm vănChính tảLuyện từ và câuTiếng Anh lớp 10Tiếng Anh lớp 11Tiếng Anh lớp 12

Có thể bạn quan tâm


Tài trợ


sin cos tan cot sinh cosh tanh
Phép toán
+ - ÷ × = ∄ ± ⋮̸
α β γ η θ λ Δ δ ϵ ξ ϕ φ Φ μ Ω ω χ σ ρ π ( ) [ ] | /

Công thức: