Giúp tôi giải toán và làm văn

Bài này em cũng không chắc lắm nha :)

Đặt \(S=x+y;P=xy\)

Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=S^3-3PS\)

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}S^3-3PS+P^3=17\\S+P=5\end{cases}}\)

Lại đặt: \(S+P=S_1;SP=P_1\) ta có:

\(S^3+P^3=\left(S+P\right)^3-3SP\left(S+P\right)=S_1^2-3P_1S_1\)

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}S^3_1-3P_1S_1-3P_1=17\\S_1=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S_1=5\\P_1=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=2\\P=3\end{cases}}\) Hoặc \(\hept{\begin{cases}S=3\\P=2\end{cases}}\)

Vì \(S^2\ge4P\) nên chỉ có \(\hept{\begin{cases}S=3\\P=2\end{cases}}\)

Thỏa mãn \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x,y\) là nghiệm của pt:

\(X^2+3X+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}X=1\\X=2\end{cases}}\)

Nghiệm của hệ là: \(\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)

2b=a+5

b=2a+5

Á nhầm,sửa lại nè

a=2b+5

\(Đk:-1\le x\le3\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}u=\sqrt{x+1}\\v=\sqrt{3-x}\end{cases}}\) Ta suy ra:

\(u^2=x+1\)

\(3u^2-2v^2=5x-3\)

\(4u^2-v^2=5x+1\)

\(u^2+v^2=4\)

Pt đã cho trở thành:

\(2\left(3u^2-2v^2\right)+5uv^2=3\left(4u^2-v^2\right)\Leftrightarrow6u^2\left(2-u\right)=v^2\left(u+3\right)\)

Thay \(v^2=4-u\) ta thu được pt:

\(2\left(3u^2-2v^2\right)+5uv^2=3\left(4u^2-v^2\right)\)

\(\Leftrightarrow6u^2\left(2-u\right)=\left(4-u^2\right)\left(u+3\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u=2\\u=\frac{5+\sqrt{145}}{10}\end{cases}}\)

Từ đó tìm đc các nghiệm của pt là: \(\orbr{\begin{cases}x=3\\x=\frac{7+\sqrt{145}}{10}\end{cases}}\)

Ta viết lại phương trình thành:

\(\left(2x-1\right)^3-\left(x^2-x-1\right)=\left(x+1\right)\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)+x^2-x-1}\)

Đặt: \(a=2x-1;b=\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)+x^2-x-1}=\sqrt[3]{3x^2-2}\) ta thu được hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}a^3-\left(x^2-x+1\right)=\left(x+1\right)b\\b^3-\left(x^2-x+1\right)=\left(x+1\right)a\end{cases}}\) 

Trừ 2 pt của hệ cho nhau ta được: \(\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+x+1\right)=0\)

Trường hợp 1: \(a=b\) ta có:

\(2x-1=\sqrt[3]{3x^2-2}\Leftrightarrow8x^3-15x^2+6x+1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{1}{8}\end{cases}}\)

Trường hợp 2: \(a^2+ab+b^2+x+1=0\Leftrightarrow\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(2x-1\right)^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+4x^2+2\left(2x-1\right)^2+5=0\left(vn\right)\)

Vậy pt có 2 nghiệm là: \(x=1;x=-\frac{1}{8}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(a-\frac{a^2}{a+b^2}=\frac{ab^2}{a+b^2}\le\frac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{2}\)

Tương tự cho các BĐT còn lai cũng có : 

\(b-\frac{b^2}{b+c^2}\le\frac{c\sqrt{b}}{2};c-\frac{c^2}{c+a^2}\le\frac{a\sqrt{c}}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT trên :
\(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)\)

\(\ge3-\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge3-\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right).\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\right]^4}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}}\right)^4\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\\\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(+3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}+\frac{1}{abc}\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}}\right)^4\)

\(\ge3\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\)

\(\left(2\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{abc+1+1}{3}=\frac{abc+2}{3}\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge1+\frac{3}{abc+2}\)

\(\Rightarrow3\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{abc+2}\right)^4\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) 

\(\Rightarrow VT\ge3\left(1+\frac{3}{abc+2}\right)^4\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^4\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có:

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}\right)^4\)

Ta chứng minh: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3\left(1\right)\)

Theo BĐT Cô - si ta có:

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\)

\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}+\frac{1}{abc}=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3\)

(Vì \(abc+2=abc+1+1\ge3\sqrt[3]{abc}\))

Vậy \(\left(1\right)\) được chứng minh \(\Rightarrow BĐT\) đúng \(\forall a,b,c>0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Để hệ có nghiệm duy nhất thì: \(\frac{3}{m}\ne\frac{m}{-1}\) 

\(\Leftrightarrow m^2\ne-3\)(1)

Vì (1) luôn đúng với mọi m

=> Hệ luôn có nghiệm duy nhất

=.= hk tốt!!

À ko,để hệ có nghiệm duy nhất thì: \(\frac{a}{a^'}\ne\frac{b}{b^'}\) ( cái này có trong sgk tập 2 trang 25 nha bn)

Nếu ko thì bạn cũng có thể tìm ra phương trình trung gian rồi xét tiếp là đc :))) 

bạn có thể biến đổi sao nó ra nhưu v k? rút y? thay vào pt (1).. ? Mình hơi lan man phần này á @@ bạn giúp mình với

Gọi k là một giá trị của B ta có:
(3x² - 8x + 6)/(x² - 2x + 1) = k
<=> 3x² - 8x + 6 = k(x² - 2x + 1)
<=> (3 - k)x² - (8 - 2k)x + 6 - k = 0 (*)
Ta cần tìm k để PT (*) có nghiệm
Xét: ∆ = (8 - 2k)² - 4(3 - k)(6 - k) = 64 - 32k + 4k² - 4(18 - 9k + k²) = 4k - 8
Để PT (*) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 <=> 4k - 8 ≥ 0 <=> k ≥ 2
Dấu "=" xảy ra khi -(8 - 2.2)x + 6 - 2 = 0 <=> -4x + 4 = 0 => x = 1
Vậy B ≥ 2 => GTNN của B = 2 khi x = 1

Ta có \(\frac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}\) = \(\frac{2\left(x^2-2x+1\right)+x^2-4x+4}{x^2-2x+1}\) = 2+\(\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\) >= 2 

Dấu "=" xảy ra khi x-2=0 => x=2

Vậy Min = 2 Khi x=2

khi x=2 chứ

Ta có:

\(A=\frac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}\)

\(\Leftrightarrow A\left(x^2-2x+1\right)=3x^2-8x+6\)

\(\Leftrightarrow\left(3-A\right)x^2+\left(2A-8\right)x+6-A=0\)

Đê pt theo nghiệm x có nghiệm thì

\(\Delta'=\left(A-4\right)^2-\left(3-A\right)\left(6-A\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow A-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow A\ge2\)

Vậy GTNN là 2 khi x = 2

x=2

lời giải mk đang làm