Hỏi đáp Tứ giác

Trong tứ giác ABCD có :

^A + ^B + ^C + ^D = 360⁰ ( đ.lí )

Lại có : ^A. ^B, ^C, ^D tỉ lệ thuận với 5, 8, 13, 10

=> ^A/5 = ^B/8 = ^C/13 = ^D/10 và ^A + ^B + ^C + ^D = 360⁰

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

 ^A/5 = ^B/8 = ^C/13 = ^D/10 = ( ^A + ^B + ^C + ^D )/( 5 + 8 + 13 + 10 ) = 360/36 = 10

=> ^A = 50⁰

     ^B = 80⁰

     ^C = 130⁰

     ^D = 100⁰

Giả sử tứ giác ABCD có AD = a, AB = b, BC = c, CD = d không có hai cạnh nào bằng nhau. Ta có thể giả sử a < b < c < d.

Ta có a + b + c > BD + c > d.

Do đó a + b + c + d > 2d hay S > 2d (*)

Ta có: S\(⋮\)a => S = m.a (m\(\in\)N)   (1)

S\(⋮\)b => S = n.b (n\(\in\)N)               (2)

S\(⋮\)c => S = p.d (p\(\in\)N)               (3)

S\(⋮\)d => S = q.d (q\(\in\)N)              (4)   . Từ (4) và (*) suy ra q.d > 2d => q > 2

Vì a < b < c < d (theo giả sử) nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra m > n > p > q > 2

Do đó q\(\ge\)3; p\(\ge\)4; n\(\ge\)5; m\(\ge\)6

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra 1/_m = a/_S; 1/n = b/_S; 1/p = c/_S; 1/q = d/_S

Ta có: \(\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{a+b+c+d}{S}=1\)

hay \(\frac{19}{20}\ge1\)(vô lí)

Vậy tồn tại hai cạnh của tứ giác bằng nhau (đpcm)

Xét tứ giác ABCD có các góc bằng nhau

=> \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}\)

Mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\left(dl\right)\)

\(\Leftrightarrow4\widehat{A}=360^o\Leftrightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o\)

Bài 2: 

Xét tứ giác ABCD 

=> \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

Vì các góc tứ giác ABCD lần lượt tỉ lệ với 1:2:4:5

\(\Rightarrow\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{D}}{5}\)VÀ \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{D}}{5}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+2+4+5}=\frac{360^o}{12}=30^o\)

Do đó 

\(\frac{\widehat{A}}{1}=30^o\Leftrightarrow\widehat{A}=30^o\)

\(\frac{\widehat{B}}{2}=30^o\Leftrightarrow\widehat{B}=60^o\)

\(\frac{\widehat{C}}{4}=30^o\Leftrightarrow\widehat{C}=120^o\)

\(\frac{\widehat{C}}{5}=30^o\Leftrightarrow\widehat{C}=150^o\)

Vậy.........

a, 

1 tứ giác có tổng 4 góc là 360 độ nên 1 góc có : 

360 : 4 = 90 độ 

b, 

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 

\(\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{4}=\frac{d}{5}=\frac{a+b+c+d}{1+2+4+5}=\frac{360}{12}=30\)  

\(\frac{a}{1}=30\Rightarrow a=30\)  

\(\frac{b}{2}=30\Rightarrow b=60\)   

\(\frac{c}{4}=30\Rightarrow c=120\)  

\(\frac{d}{5}=30\Rightarrow d=150\)

1. Xét tứ giác ABCD ta có :

^A + ^B + ^C + ^D = 360⁰ ( định lí )

mà 4 góc đó bằng nhau 

=> ^A = ^B = ^C = ^D = 360⁰/4 = 90⁰

2. Xét tứ giác ABCD ta có :

^A + ^B + ^C + ^D = 360⁰ ( định lí ) (1)

mà ^A , ^B , ^C , ^D lần lượt tỉ lệ với 1 ; 2 ; 4 ; 5

=> \(\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{D}}{5}\)(2)

Từ (1) và (2) => Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{\widehat{A}}{1}=\frac{\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{4}=\frac{\widehat{D}}{5}=\frac{\widehat{A}+​​\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}}{1+2+4+5}=\frac{360^0}{12}=30^0\)

=> ^A = 30⁰

     ^B = 30⁰.2 = 60⁰

     ^C = 30⁰.4 = 120⁰

     ^D = 30⁰.5 = 150⁰

Xét tứ giác MNPQ ta có :

^M + ^N + ^P + ^Q = 360⁰ ( định lí )

<=> x + 2x + 3x + 4x = 360⁰

<=> 10x = 360⁰

<=> x = 36⁰

=> ^M = 36⁰

=> ^N = 36⁰.2 = 72⁰

=> ^P = 36⁰.3 = 108⁰

=> ^Q = 36⁰.4 = 144⁰

Vì tổng 4 góc trong 1 tứ giác là \(360^0\)

 \(\Rightarrow\)\(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}+\widehat{Q}=360^0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+2x+3x+4x=360\)

\(\Leftrightarrow\)\(10x=360\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=36\)

Vậy \(x=36^0\)

Xét tứ giác ABCD 

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\left(đl\right)\)

\(\Leftrightarrow48^o+20^o+125^0+\widehat{D}=360^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{D}=360^o-48^o-20^o-125^0=167^o\)

Gọi d' là góc ngoài đỉnh D

Góc ngoài tại đỉnh D 

\(\Rightarrow\widehat{D}+\widehat{D'}=180^o\left(kb\right)\)

\(\Leftrightarrow167^o+\widehat{D'}=180^o\Leftrightarrow\widehat{D'}=13^o\)

vậy góc ngoài tại đỉnh D bawfg 13 độ

Ta có : ^A + ^B + ^C + ^D = 360⁰ ( tổng 4 góc 1 tứ giác )

     <=> 48⁰ + 20⁰ + 125⁰ + ^D = 360⁰

     <=> ^D = 360⁰ - ( 48⁰ + 20⁰ + 125⁰ )

     <=> ^D = 167⁰

^D + góc ngoài đỉnh D = 180⁰ ( kề bù )

=> góc ngoài đỉnh D = 180⁰ - ^D

                                  = 180⁰ - 167⁰

                                  = 13⁰

#Khải sai rồi :v 

\(\widehat{D}=360^o-48^o-125^o-20^o=177^o\text{ do đó góc ngoài đỉnh D là:}3^o\)

Từ C kẻ CK//AB , CH//BD , CK cắt CM tại I

 Vì CK//AB => QC/QB=CI/MB=CI/MA=CE/EA=DF/FB

Vì CH//DB => QC/QB=CH/FB

=> DF/FB=CH/FB(=QC/QB)

=> DF=CH

     DF//CH

=> DFCH là hình bình hành =>DN=NC

@Shinobu Cừu

\(\text{GIẢI :}\)

a) Xét \(\diamond\text{ACDO}\) có \(\widehat{\text{OAC}}=\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{CDO}}\text{ }\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình chữ nhật.

mà \(AC=CD\text{ }\Rightarrow\text{ }\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông.

b) Xét , có : \(\widehat{ACB}=90^0-\widehat{ABC}\) (1)

Xét , có : \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABH}\)

hay \(\widehat{BAH}=90^{\text{o}}-\widehat{ABC}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\text{ }\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\).

Xét \(\bigtriangleup\text{ABC và }\bigtriangleup\text{OIA}\), có :

\(\widehat{IOA}=\widehat{BAC}\text{ }\left(90^{\text{o}}\right)\)

\(AO=AC\) (vì \(\diamond\text{ACDO}\) là hình vuông)

\(\widehat{IAO}=\widehat{ACB}\) (vì \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\), \(\widehat{IAO}\) và \(\widehat{BAH}\) đối đỉnh)

\(\Rightarrow\bigtriangleup\text{ABC}=\bigtriangleup\text{OIA}\) (g.c.g)

\(\Rightarrow\text{ IA = BC}\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm).