Giúp tôi giải toán và làm văn

a) Gọi H là giao điểm của DM và AC

Xét tam giác ADM có: AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADM cân tại A  và có AH là đường cao

=> AH là đường trung tuyến của tam giác ADM

=> H là trung điểm DM

=> tam giác CDM có CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 

=> Tam giác DCM cân tại D

=> CD=CM

b) Xét tam giác ADC và tam giác AMC có:

CD=CM ( chứng minh trên)

AC chung

AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADC = tam giác AMC

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMC}+\widehat{CMB}=180^o\)

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{CMB}=180^o\) (1)

Xét tứ giác ABCD có góc A+góc C=180^o

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180^o\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{CMB}\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{CMB}\)

=> Tam giác BCM cân tại C

=> CM =CB

mà theo câu a : CD=CM

=> CB=CD

=> Tam giác DCB cân tại C có K là trung điểm BD

=> CK vuông góc BD (3)

Mặt khác xét tam giác EBD đều có K là trung điểm BD

=> EK vuông góc với BD (4)

Từ (3), (4) 

=> E, K, C thẳng hàng  

Bạn tham khảo link bên dưới nhé!

Câu hỏi của Đoàn Phương Liên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Trên đường thẳng AB lấy điểm E sao cho AE=AD

Xét tam giác AEC và tam giác ADC có: 

AD=AE

^DAC=^EAC ( AC là phân giác ^BAD)

AC chung

=> Tam giác AEC = tam gác ADC

=>^ADC=^AEC (1)

và EC=CD

mà DC=BC

=> EC=BC

=> Tam giác EBC cân tại C

=> ^CEB=^CBE (2) 

Mà ^AEC+^CEB =180^o (3)

Từ (1), (2) , (3) => góc ADC + góc CBE =180^o

Chị ơi, mình không cminh đc \(\widehat{B}=\widehat{D}\)ạ?

Xét tứ giác PEBF có: \(\widehat{P}+\widehat{E_2}+\widehat{B}_2+\widehat{B_3}+\widehat{B_1}+\widehat{F_2}=360^o\)(1)

Tương tự với tứ giác DEBF: \(\widehat{D}+\widehat{E}+\widehat{B}_2+\widehat{B_3}+\widehat{B_1}+\widehat{F}=360^o\)(2)

Vì \(\widehat{B_2}+\widehat{D}=180^o\)=> \(\widehat{B_1}=\widehat{B_3}=\widehat{D}\)

(1) => \(\widehat{P}+2.\widehat{D}+\widehat{B_2}+\widehat{E_2}+\widehat{F_2}=360^o\Rightarrow\widehat{E_2}+\widehat{F_2}=360^o-\left(\widehat{P}+2.\widehat{D}+\widehat{B_2}\right)\)

(2) => \(3.\widehat{D}+\widehat{B_2}+\widehat{E}+\widehat{F}=360^o\Rightarrow3.\widehat{D}+\widehat{B_2}+2\left(\widehat{E_2}+\widehat{F_2}\right)=360^o\)

=> \(3.\widehat{D}+\widehat{B_2}+2\left(360^o-\left(\widehat{P}+2.\widehat{D}+\widehat{B_2}\right)\right)=360^o\)

=> \(2.\widehat{P}=360^o-\left(\widehat{D}+B_2\right)=360^o-180^o=180^o\)

=> \(\widehat{EPF}=\widehat{P}=90^o\)

Ta có: AB=BC (gt)

Suy ra: Tam giác ABC cân.

Nên    (1)

Lại có \(\widehat{A-1}=\widehat{A-2}\) (2) ( Vì AC là tia phân giác của ^AA^)

Từ (1) và (2) suy ra\(\widehat{C-1}|=\widehat{A-2}\) nên BC// AD (do\(\widehat{C-2}\(ở vị trí so le trong)

~~~~ học tốt~~~~

Rồi chứng minh gì hả bạn?

'

+) Gọi O là trung điểm AC

I là giao điểm phân giác góc B và DC

Giao của MN và BC, AD lần lượt là E, F

+) Xét tam giác ABC có: M, O lần lượt là trung điểm của AB, AC 

=> MO là đường trung bình tam giác ABC

=> MO//=\(\frac{1}{2}BC\)(1)

=> \(\widehat{M_1}=\widehat{E_2}\) (đồng vị)

Mà \(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\) ( đối đỉnh)

=> \(\widehat{M_1}=\widehat{E_1}\)  (2)

+) Xét tam giác ACD có: N, O lần lượt là trung điểm của CD, AC 

=> NO là đường trung bình tam giác ACD

=> NO//=\(\frac{1}{2}AD\)(3)

=> \(\widehat{N_1}=\widehat{F_1}\) (sole trong) (4)

+) Ta lại có: AD=BC  (5)

Từ (1), (3), (5)

=> NO=MO

=> Tam giác MON cân 

=> \(\widehat{N_1}=\widehat{M_1}\)(6)

Từ (2), (4), (6)  => \(\widehat{E_1}=\widehat{F_1}\)

+) Xét tam giác PEF có \(\widehat{DPC}\) là góc ngoài tại đỉnh P

=> \(\widehat{DPC}=\widehat{E_1}+\widehat{F_1}=2\widehat{F_1}\)( vì \(\widehat{E_1}=\widehat{F_1}\)) (7)

+) Xét tam DPC có: PI là đường phân giác

=> \(\widehat{DPC}=\widehat{P_1}+\widehat{P_2}=2\widehat{P_1}\) (8)

Từ (7), (8)

=> \(\widehat{F_1}=\widehat{P_1}\)

=> PI//FE

=> PI//MN

hay MN// đường phân giác góc P

Bạn cóp nhầm ở đâu vậy? Không liên quan với câu hỏi của mình

Ta có:

MN=AB+CD2$MN=\frac{AB+CD}{2}$

=> MN là đường trung bình

=> MN//CD;MN//AB

=> AB//CD

=> tứ giác ABCD là hình thang

học tốt

Ban giải thích kĩ hơn được không vậy

Cho điểm P bất kì => Tạo thành 2 tam giác PAC và PBD. 

Mà trong bđt tam giác thì: PA + PC >= AC

PB + PD >= BD.

=> PA + PB + PC + PD >= AC + BD

Dấu ''='' xảy ra <=> P,A,C thẳng hàng và P,B,D thẳng hàng => P thuộc giao điểm của AC và BD.

Có PA + PC >= AC (BĐT tam giác)

PB + PD >= BD 

=>PA + PC + PB + PD >= BD + AC

Dấu ''='' xảy ra <=> P là giao điểm của AC và BD. 

Vậy...

a) Vì góc B + góc C = 200⁰

góc B + góc D = 180 ⁰

góc C + góc D = 120 ⁰

=> góc B + góc C + góc B + góc D + góc C + góc D = 500 ⁰

=> 2B + 2C + 2D = 500 ⁰

= 2( B + C + D ) = 500 ⁰

=> B + C + D = 500 : 2 = 250 độ

Ta có:

góc B + góc C + góc D = 250 ⁰

=> góc D = 250 - ( B + C)

= 250⁰ - 200⁰

= 50 ⁰

=> góc B = 250⁰ - ( C + D)

= 250⁰ - 120⁰

= 130 ⁰

=> góc C = 250⁰ - ( B + D)

= 250 - 180

= 70 độ

Vì góc A + góc B + góc C + góc D = 360 độ

=> góc A = 360⁰ - ( B + C + D)

= 360⁰ - ( 130⁰ + 70⁰ + 50⁰)

= 110 ⁰

Vậy góc A = 110 ⁰

góc B= 130 ⁰

góc C = 70 ⁰

góc D = 50⁰

Vì AI là pg BAD 

=> BAI = IAD 

Vì BI là pg ABC

=> ABI = IBC

Xét tam giác AIB ta có 

AIB = 180 - (BAI + ABI)

=> AIB = 180 -( 1/2BAI +1/2ABI)

Mà BAI + ABI = 360 - (ABC+ BCD)

=> AIB = 180- [360-(1/2ABC+1/2BCD)]

=> AIB = ABC + BCD /2

Có : \(AB< OA+OB;BC< OB+OC;CD< OC+OD;DA< OD+OA\)

\(P_{ABCD}=2p=AB+BC+CD+DA< 2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(p< OA+OB+OC+OD\)

Lại có : \(OA< AB-OB;OB< BC-OC;OC< CD-OD;OD< DA-OA\)

Cộng vế theo vế từng bđt trên ta được : 

\(OA+OB+OC+OD< AB+BC+CD+DA-\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< AB+BC+CD+DA\) (*) 

Có tiếp -,- : 

\(OA< AB+OB;OA< DA+OD\)\(\Rightarrow\)\(2OA< AB+DA+OB+OD\)

\(OB< AB+OA;OB< BC+OC\)\(\Rightarrow\)\(2OB< AB+BC+OA+OC\)

\(OC< BC+OB;OC< CD+OD\)\(\Rightarrow\)\(2OC< BC+CD+OB+OD\)

\(OD< CD+OC;OD< DA+OA\)\(\Rightarrow\)\(2OD< CD+DA+OC+OA\)

\(\Rightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)+2\left(OA+OB+OC+OD\right)\)

\(< 2\left(AB+BC+CD+DA\right)+\left(AB+BC+CD+DA\right)\) ( kết hợp với (*) ) 

\(\Rightarrow\)\(2\left(OA+OB+OC+OD\right)< 3\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(OA+OB+OC+OD< 3.\frac{AB+BC+CD+DA}{2}=3.\frac{2p}{2}=3p\)

Vậy \(p< OA+OB+OC+OD< 3p\)

xóa dòng gọi giao điểm nha, lần đầu mình định dùng nhưng sau thấy không cần đến mà quên xóa 

Gọi tứ giác đó là ABCD, gọi gia điểm hai đường chéo của tứ giác là O, ta có:

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

AB+BC>AC (1)

AD+DC>AC(2)

AD+AB>BD(3)

BC+DC>BD(4)

Từ (1),(2),(3),(4) => 2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD)

=> AB+BC+CD+AD>AC+BD

Vậy trong 1 tứ giác thì tổng của 2 đường chéo luôn bé hơn tổng 4 cạnh

Đề thi mà

1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 90⁰

=> ^CNE = 180⁰ - ^CNB = 90⁰. Xét tứ giác CDNE có:

^CDE = ^CNE = 90⁰ => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).

2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 90⁰

=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:

BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC

=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 90⁰) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).

3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.

Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 90⁰ => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)

Tương tự: ^NBK = ^NDK     (2)

Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN

Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)

Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)

Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH

=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF

Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)

Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:

^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)

=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)

Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)

Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)

\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 90⁰

=> ^DBF + ^DCH = 90⁰ => CH vuông góc BF.

Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB

=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 90⁰

=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)

=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP

Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 90⁰ => ^DCP + ^DHP = 180⁰

=> ^HMP + ^DHP = 180⁰ hay ^HMP + ^KHP = 180⁰ => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn

=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.

Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB

=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)

=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP

Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP

=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)

I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d

OC vuông góc d => OC // IF (8)

Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))

=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)

=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)

Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.

???